已知数列{an}中，a1=1，a n+1=2an+1，．求证：数列{an+1}是等比数列；求数列{an}的前n项和．

题文

已知数列{a_n}中，a₁=1，a _n+1=2a_n+1，（n∈N*）．
（1）求证：数列{a_n+1}是等比数列；
（2）求数列{a_n}的前n项和． 题型：未知 难度：其他题型

答案

解：（1）∵a _n+1=2a_n+1，（n∈N*），
∴a _n+1+1=2（a_n+1），
∴

=2，
∴数列{a_n+1}是以2为公比的等比数列，
（2）由（1）知，数列{a_n+1}是等比数列，且q=2，首项为a₁+1=2，
∴a_n+1=2

2 ^n﹣1=2ⁿ，
∴a_n=2ⁿ﹣1，
∴数列{a_n}的前n项和S_n=（2+2²+…+2ⁿ）﹣n=

﹣n=2 ⁿ⁺¹﹣n﹣2．

解析

该题暂无解析

考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}中，a1=1，a .....”主要考查你对 [等比数列的通项公式 ]考点的理解。 等比数列的通项公式

等比数列的通项公式:

a_n=a₁q^n-1，q≠0，n∈N^*。

等比数列的通项公式的理解：

①在已知a₁和q的前提下，利用通项公式

可求出等比数列中的任意一项；
②在已知等比数列中任意两项的前提下，使用



可求等比数列中任何一项；
③用函数的观点看等比数列的通项，等比数列{a_n}的通项公式

，可以改写为

．当q>o，且q≠1时，y=q^x是一个指数函数，而

是一个不为0的常数与指数函数的积，因此等比数列{a_n}的图象是函数

的图象上的一群孤立的点；
④通项公式

亦可用以下方法推导出来：



将以上（n一1）个等式相乘，便可得到


 
⑤用方程的观点看通项公式．在a_n，q，a₁，n中，知三求一。