已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足an+Sn=2．求数列{an}的通项公式；求证数列{an}中不存在任意三项按原来顺序成等差数列；

题文

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足a_n+S_n=2．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求证数列{a_n}中不存在任意三项按原来顺序成等差数列；
（3）若从数列{a_n}中依次抽取一个无限多项的等比数列，使它的所有项和S满足

，这样的等比数列有多少个？ 题型：未知 难度：其他题型

答案

解：（1）当n=1时，a₁+S₁=2a₁=2，则a₁=1．
又a_n+S_n=2，
∴a_n+1+S_n+1=2，两式相减得

，
∴{a_n}是首项为1，公比为

的等比数列
∴


（2）反证法：假设存在三项按原来顺序成等差数列，记为a_p+1，a_q+1，a_r+1（p＜q＜r）
则

，∴2●2r﹣q=2^r﹣p+1（*）
又∵p＜q＜r
∴r﹣q，r﹣p∈N*
∴*式左边是偶数，右边是奇数，等式不成立
∴假设不成立原命题得证．
（3）设抽取的等比数列首项为

，公比为

，项数为k，
且满足m，n，k∈N，m≥0，n≥1，k≥1，
则


又∵


∴


整理得：

①
∵n≥1  ∴2^m﹣n≤2^m﹣1．
∴


∴m≥4
∵

   ∴


∴m≥4
∴m=4将m=4代入①式整理得

    ∴n≥4
经验证得n=1，2不满足题意，n=3，4满足题意．
综上可得满足题意的等比数列有两个．

解析

该题暂无解析

考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}的前n项和为Sn，.....”主要考查你对 [等比数列的通项公式 ]考点的理解。 等比数列的通项公式

等比数列的通项公式:

a_n=a₁q^n-1，q≠0，n∈N^*。

等比数列的通项公式的理解：

①在已知a₁和q的前提下，利用通项公式

可求出等比数列中的任意一项；
②在已知等比数列中任意两项的前提下，使用



可求等比数列中任何一项；
③用函数的观点看等比数列的通项，等比数列{a_n}的通项公式

，可以改写为

．当q>o，且q≠1时，y=q^x是一个指数函数，而

是一个不为0的常数与指数函数的积，因此等比数列{a_n}的图象是函数

的图象上的一群孤立的点；
④通项公式

亦可用以下方法推导出来：



将以上（n一1）个等式相乘，便可得到


 
⑤用方程的观点看通项公式．在a_n，q，a₁，n中，知三求一。