已知函数f=lnx﹣x+1），数列{an}满足．求数列{an}的通项公式an；求f+f+…+f

题文

已知函数f（x）=lnx﹣x+1（x∈[1，+∞）），数列{a_n}满足

．
（1）求数列{a_n}的通项公式a_n；
（2）求f（a₁）+f（a₂）+…+f（a_n）；
（3）求证：

． 题型：未知 难度：其他题型

答案

解：（1）∵

，
∴{a_n}是等比数列，
又a₁=e，∴数列{a_n}的通项公式为：a_n=eⁿ．
（2）由（1）知，f（a_n）=lneⁿ﹣eⁿ+1=（n+1）﹣eⁿ，
∴f（a₁）+f（a₂）+…+f（a_n）
=[2+3+…+（n+1）]﹣（e+e²+…+eⁿ）
=

．
（3）由函数f（x）=lnx﹣x+1，得

，
又x≥1，∴f'（x）≤0，
∴f（x）递减，∴f（x）≤f（1），
即f（x）≤0，也就是lnx≤x﹣1，
于是：ln1+ln2+…+lnn≤0+1+…+（n﹣1），
即

，
故

．

解析

该题暂无解析

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f（x）=lnx﹣x+1（.....”主要考查你对 [等比数列的通项公式 ]考点的理解。 等比数列的通项公式

等比数列的通项公式:

a_n=a₁q^n-1，q≠0，n∈N^*。

等比数列的通项公式的理解：

①在已知a₁和q的前提下，利用通项公式

可求出等比数列中的任意一项；
②在已知等比数列中任意两项的前提下，使用



可求等比数列中任何一项；
③用函数的观点看等比数列的通项，等比数列{a_n}的通项公式

，可以改写为

．当q>o，且q≠1时，y=q^x是一个指数函数，而

是一个不为0的常数与指数函数的积，因此等比数列{a_n}的图象是函数

的图象上的一群孤立的点；
④通项公式

亦可用以下方法推导出来：



将以上（n一1）个等式相乘，便可得到


 
⑤用方程的观点看通项公式．在a_n，q，a₁，n中，知三求一。