在数列{an}中，a1=0，an+1=2an+2．设bn=an+2，求数列{bn}的通项公式；{an}中是否存在不同的三项ap，a

题文

在数列{a_n}中，a₁=0，a_n+1=2a_n+2（n∈N*）．
（1）设b_n=a_n+2，求数列{b_n}的通项公式；
（2）{a_n}中是否存在不同的三项a_p，a_q，a_r（p，q，r∈N*）恰好成等差数列？若存在，求出p，q，r的关系；若不存在，说明理由． 题型：未知 难度：其他题型

答案

解：（1）b_n+1=a_n+1+2=（2a_n+2）+2=2（a_n+2）=2b_n，
又b₁=a₁+2=2，
所以，数列{b_n}是首项为2、公比为2的等比数列，
所以数列{b_n}的通项公式为b_n=2ⁿ．
（2）由（1）得a_n=2ⁿ﹣2．
假设{a_n}中是否存在不同的三项a_p，a_q，a_r（p，q，r∈N*）恰好成等差数列，
不妨设p＜q＜r，则（2^p﹣2）+（2^r﹣2）=2（2^q﹣2），
于是2^p+2^r=2^q+1，
所以1+2^r﹣p=2^q﹣p+1．
因p，q，r∈N*，且p＜q＜r，
所以1+2^r﹣p是奇数，2^q﹣p+1是偶数，
1+2^r﹣p=2^q﹣p+1不可能成立，
所以不存在不同的三项a_p，a_q，a_r成等差数列．

解析

该题暂无解析

考点

据考高分专家说，试题“在数列{an}中，a1=0，an+.....”主要考查你对 [等比数列的通项公式 ]考点的理解。 等比数列的通项公式

等比数列的通项公式:

a_n=a₁q^n-1，q≠0，n∈N^*。

等比数列的通项公式的理解：

①在已知a₁和q的前提下，利用通项公式

可求出等比数列中的任意一项；
②在已知等比数列中任意两项的前提下，使用



可求等比数列中任何一项；
③用函数的观点看等比数列的通项，等比数列{a_n}的通项公式

，可以改写为

．当q>o，且q≠1时，y=q^x是一个指数函数，而

是一个不为0的常数与指数函数的积，因此等比数列{a_n}的图象是函数

的图象上的一群孤立的点；
④通项公式

亦可用以下方法推导出来：



将以上（n一1）个等式相乘，便可得到


 
⑤用方程的观点看通项公式．在a_n，q，a₁，n中，知三求一。