已知递增的等比数列{an}满足a2+a3+a4=28，且a3+2是a2，a4的等差中项．求数列{an}的通项公式；若bn=log2an+1，求数列{

题文

已知递增的等比数列{a_n}满足a₂+a₃+a₄=28，且a₃+2是a₂，a₄的等差中项．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若b_n=log₂a_n+1，求数列{b_n}的前n项和S_n． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）设等比数列{a_n}的公比为q，依题意有2（a₃+2）=a₂+a₄，（1）
又a₂+a₃+a₄=28，将（1）代入得a₃=8．所以a₂+a₄=20．
于是有a1q+a1q3=20a1q2=8
解得a1=2q=2或a1=32q=12
又{a_n}是递增的，故a₁=2，q=2．
所以a_n=2ⁿ．
（Ⅱ）b_n=log₂2ⁿ⁺¹=n+1．
故Sn=n2+3n2．

解析

a1q+a1q3=20a1q2=8

考点

据考高分专家说，试题“已知递增的等比数列{an}满足a2+a3.....”主要考查你对 [等比数列的通项公式 ]考点的理解。 等比数列的通项公式

等比数列的通项公式:

a_n=a₁q^n-1，q≠0，n∈N^*。

等比数列的通项公式的理解：

①在已知a₁和q的前提下，利用通项公式

可求出等比数列中的任意一项；
②在已知等比数列中任意两项的前提下，使用



可求等比数列中任何一项；
③用函数的观点看等比数列的通项，等比数列{a_n}的通项公式

，可以改写为

．当q>o，且q≠1时，y=q^x是一个指数函数，而

是一个不为0的常数与指数函数的积，因此等比数列{a_n}的图象是函数

的图象上的一群孤立的点；
④通项公式

亦可用以下方法推导出来：



将以上（n一1）个等式相乘，便可得到


 
⑤用方程的观点看通项公式．在a_n，q，a₁，n中，知三求一。