已知数列{an}的递推公式为a1=2an+1=3an+1，bn=an+12，求证：数列{bn}为等比数列；求数列{an}的通项公式．

题文

已知数列{a_n}的递推公式为a1=2an+1=3an+1，bn=an+12（n∈N^*），
（1）求证：数列{b_n}为等比数列；
（2）求数列{a_n}的通项公式． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）由题意可得：a₁=2，
所以b1=a1+12=2+12=52，
又因为a_n+1=3a_n+1，bn=an+12，
所以bn+1=an+1+12=3an+1+12=3(an+12)=3bn，
所以数列{b_n}是一个以52为首项，3为公比的等比数列．---------（6分）
（2）由（1）得bn=52×3n-1，
因为bn=an+12，
所以可得an+12=52×3n-1，
所以an=52×3n-1-12（n∈N^*）．---------（10分）

解析

12

考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}的递推公式为a1=2an.....”主要考查你对 [等比数列的通项公式 ]考点的理解。 等比数列的通项公式

等比数列的通项公式:

a_n=a₁q^n-1，q≠0，n∈N^*。

等比数列的通项公式的理解：

①在已知a₁和q的前提下，利用通项公式

可求出等比数列中的任意一项；
②在已知等比数列中任意两项的前提下，使用



可求等比数列中任何一项；
③用函数的观点看等比数列的通项，等比数列{a_n}的通项公式

，可以改写为

．当q>o，且q≠1时，y=q^x是一个指数函数，而

是一个不为0的常数与指数函数的积，因此等比数列{a_n}的图象是函数

的图象上的一群孤立的点；
④通项公式

亦可用以下方法推导出来：



将以上（n一1）个等式相乘，便可得到


 
⑤用方程的观点看通项公式．在a_n，q，a₁，n中，知三求一。