已知数列{an}的前n项和Sn和通项an满足Sn=qq-1(an-1)．求数列{an}的通项公式；当q=13时，试证明

题文

已知数列{a_n}的前n项和S_n和通项a_n满足Sn=qq-1(an-1)（q是常数且q＞0，q≠1，）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）当q=13时，试证明a₁+a₂+…+a_n＜12；
（3）设函数f（x）=log_qx，b_n=f（a₁）+f（a₂）+…+f（a_n），是否存在正整数m，使1b1+1b2+…+1bn≥m3对任意n∈N^*都成立？若存在，求出m的值，若不存在，说明理由． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=qq-1(an-1)-qq-1（a_n-1-1）（2分）
⇒anan-1=q（2分）
又由S₁=a₁=qq-1（a₁-1）得a₁=q（3分）
∴数列a_n是首项a₁=q、公比为q的等比数列，∴a_n=q•q^n-1=qⁿ（5分）
（2）a1+a2+an=13[1-(13)n]1-13（7分）
=12[1-(13)n]＜12（9分）
（3）b_n=log_qa₁+log_qa₂+log_qa_n=log_q（a₁a₂a_n）=logqq1+2+n=n(n+1)2（9分）
∴1b1+1b2++1bn=2(1-12+12-13+1n-1n+1)=2(1-1n+1)（11分）
∴2(1-1n+1)≥m3，即m≤6(1-1n+1)
∵n=1时[6(1-1n+1)]min=3，
∴m≤3（14分）
∵m是正整数，
∴m的值为1，2，3．（16分）

解析

qq-1

考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}的前n项和Sn和通项an.....”主要考查你对 [等比数列的通项公式 ]考点的理解。 等比数列的通项公式

等比数列的通项公式:

a_n=a₁q^n-1，q≠0，n∈N^*。

等比数列的通项公式的理解：

①在已知a₁和q的前提下，利用通项公式

可求出等比数列中的任意一项；
②在已知等比数列中任意两项的前提下，使用



可求等比数列中任何一项；
③用函数的观点看等比数列的通项，等比数列{a_n}的通项公式

，可以改写为

．当q>o，且q≠1时，y=q^x是一个指数函数，而

是一个不为0的常数与指数函数的积，因此等比数列{a_n}的图象是函数

的图象上的一群孤立的点；
④通项公式

亦可用以下方法推导出来：



将以上（n一1）个等式相乘，便可得到


 
⑤用方程的观点看通项公式．在a_n，q，a₁，n中，知三求一。