已知数列{an}是各项均为正数的等比数列，且a4=1，a2+a6=829．求数列{an}的通项公式．

题文

已知数列{a_n}是各项均为正数的等比数列，且a₄=1，a₂+a₆=829．求数列{a_n}的通项公式． 题型：未知 难度：其他题型

答案

设数列{a_n}的公比为q，则依题意由a₁q³=1，a₁q+a₁q⁵=829．
两式相除并整理得9q⁴-82q²+9=0．
解得q²=9或q²=19．
∵数列各项均为正数，∴公比q＞0．
∴公比q=3或q=13
当公比q=3时，由a₁q³=1，得a₁=127
∴a_n=127•3^n-1=3^n-4
当q=13时，由a₁q³=1，得a₁=27
∴a_n=27•（13）^n-1=3^4-n
∴数列{a_n}的通项公式为a_n=3^4-n或a_n=3^n-4

解析

829

考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}是各项均为正数的等比数列.....”主要考查你对 [等比数列的通项公式 ]考点的理解。 等比数列的通项公式

等比数列的通项公式:

a_n=a₁q^n-1，q≠0，n∈N^*。

等比数列的通项公式的理解：

①在已知a₁和q的前提下，利用通项公式

可求出等比数列中的任意一项；
②在已知等比数列中任意两项的前提下，使用



可求等比数列中任何一项；
③用函数的观点看等比数列的通项，等比数列{a_n}的通项公式

，可以改写为

．当q>o，且q≠1时，y=q^x是一个指数函数，而

是一个不为0的常数与指数函数的积，因此等比数列{a_n}的图象是函数

的图象上的一群孤立的点；
④通项公式

亦可用以下方法推导出来：



将以上（n一1）个等式相乘，便可得到


 
⑤用方程的观点看通项公式．在a_n，q，a₁，n中，知三求一。