已知数列{xn}满足下列条件：x1=a，x2=b，xn+1-xn+λxn-1=0，其中a、b为常数，且a＜b，λ为非零常数．

题文

已知数列{x_n}满足下列条件：x₁=a，x₂=b，x_n+1-（λ+1）x_n+λx_n-1=0（n∈N^*且n≥2），其中a、b为常数，且a＜b，λ为非零常数．
（Ⅰ）当λ＞0时，证明：x_n+1＞x_n（n∈N^*）；
（Ⅱ）当|λ|＜1时，求limn→∞xn． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）证明：∵x_n+1-（λ+1）x_n+λx_n-1=0（n∈N^*且n≥2），λ为非零常数，
∴x_n+1-x_n=λ（x_n-x_n-1），
∵x₁=a，x₂=b，其中a、b为常数，且a＜b，
∴x₂-x₁=b-a＞0，
∴数列{x_n+1-x_n}是首项为b-a，公比为λ的等比数列，
故xn+1-xn=(b-a)•λn-1，
∵λ＞0，
∴x_n+1-x_n＞0，
即x_n+1＞x_n（n∈N^*）．
（Ⅱ）∵x₁=a，x₂=b，x_n+1-（λ+1）x_n+λx_n-1=0（n∈N^*且n≥2），
其中a、b为常数，且a＜b，λ为非零常数．
∴x_n+1-λx_n=x_n-λx_n-1=…=x₂-λx₁=b-λa，
即x_n+1-λx_n=b-λa，
∴λx_n=x_n+1-（b-λa），①
∵x_n+1＞x_n（n∈N^*），xn+1-xn=(b-a)•λn-1，
∴xn=xn+1-(b-a)•λn-1，②
②-①，得（1-λ）x_n=b-λa-（b-a）•λ^n-1，
∴xn=b-λa-(b-a)•λn-11-λ，
∵|λ|＜1，
∴limn→∞λn-1=0，
∴limn→∞xn=limn→∞b-λa-(b-a)•λn-11-λ=b-λa1-λ．

解析

b-λa-(b-a)•λn-11-λ

考点

据考高分专家说，试题“已知数列{xn}满足下列条件：x1=a，.....”主要考查你对 [等比数列的通项公式 ]考点的理解。 等比数列的通项公式

等比数列的通项公式:

a_n=a₁q^n-1，q≠0，n∈N^*。

等比数列的通项公式的理解：

①在已知a₁和q的前提下，利用通项公式

可求出等比数列中的任意一项；
②在已知等比数列中任意两项的前提下，使用



可求等比数列中任何一项；
③用函数的观点看等比数列的通项，等比数列{a_n}的通项公式

，可以改写为

．当q>o，且q≠1时，y=q^x是一个指数函数，而

是一个不为0的常数与指数函数的积，因此等比数列{a_n}的图象是函数

的图象上的一群孤立的点；
④通项公式

亦可用以下方法推导出来：



将以上（n一1）个等式相乘，便可得到


 
⑤用方程的观点看通项公式．在a_n，q，a₁，n中，知三求一。