已知等差数列{an}和公比为q的正项等比数列{bn}满足a1=b1=a，a3=b3，a7=b5，求等比数列{bn}的公比q；记Mn=a1+

题文

已知等差数列{a_n}和公比为q（q≠1）的正项等比数列{b_n}满足a₁=b₁=a，a₃=b₃，a₇=b₅，
（1）求等比数列{b_n}的公比q；
（2）记M_n=a₁+a₂+…+a_n，N_n=b₁+b₂+…+b_n，试比较M₅与N₅的大小．
（3）若a=1，设数列c_n=a_2n+1•b_2n+1，求数列{c_n}的前n项和S_n． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）因为a₁=b₁，a₃=b₃，a₇=b₅，
所以，a₁+2d=b₁q²=aq²
a₁+6d=b₁q⁴=aq⁴，
变形得：a（1-q²）=-2d ①
a（1-q⁴）=-6d ②
②÷①得，1+q²=3
正项等比数列{b_n}，
所以q²=2，
即，q=2．
（2）由（1）可知d=a2，
M₅=5×(a+a+4d)2=10a；
N₅=a(1-(2)5)1-2=a((2)5-1)2-1=a(22-1)2-1，
M5N5=10a a(22-1)2-1=10(2-1)22-1＞1，
M₅＞N₅．
（3）an=a+(n-1)a2=a2(n+1)，bn=a•(2)n-1
由题意若a=1，数列c_n=a_2n+1•b_2n+1=（2n+2）•(2)2n=（n+1）•2ⁿ⁺¹，
S_n=2•2²+3•2³+4•2⁴+…+（n+1）•2ⁿ⁺¹…①
2S_n=2•2³+3•2⁴+4•2⁵+…+（n+1）•2ⁿ⁺²…②
②-①得S_n=-2•2²-3•2³-2⁴-…-2ⁿ⁺¹+（n+1）•2ⁿ⁺²；
S_n=-4+（n+1）•2ⁿ⁺²-4(1-2n-1)1-2=-4+（n+1）•2ⁿ⁺²+4（1-2^n-1）=（n+1）•2ⁿ⁺²-2ⁿ⁺¹．

解析

2

考点

据考高分专家说，试题“已知等差数列{an}和公比为q（q≠1）.....”主要考查你对 [等比数列的通项公式 ]考点的理解。 等比数列的通项公式

等比数列的通项公式:

a_n=a₁q^n-1，q≠0，n∈N^*。

等比数列的通项公式的理解：

①在已知a₁和q的前提下，利用通项公式

可求出等比数列中的任意一项；
②在已知等比数列中任意两项的前提下，使用



可求等比数列中任何一项；
③用函数的观点看等比数列的通项，等比数列{a_n}的通项公式

，可以改写为

．当q>o，且q≠1时，y=q^x是一个指数函数，而

是一个不为0的常数与指数函数的积，因此等比数列{a_n}的图象是函数

的图象上的一群孤立的点；
④通项公式

亦可用以下方法推导出来：



将以上（n一1）个等式相乘，便可得到


 
⑤用方程的观点看通项公式．在a_n，q，a₁，n中，知三求一。