等差数列{an}中，公差d≠0，已知数列ak1，ak2，ak3…akn…是等比数列，其中k1=1，k2=7，k3=25．求数列{kn}的通项公式kn；（2

题文

等差数列{a_n}中，公差d≠0，已知数列ak1，ak2，ak3…akn…是等比数列，其中k₁=1，k₂=7，k₃=25．
（1）求数列{k_n}的通项公式k_n；
（2）若a₁=9，b_n=1log3akn+log3(kn+2)（n∈N₊），S_n是数列{b_n}的前n项和，求证Sn＜n2． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）设{a_n}的首项为a₁，公差为d（d≠0），
∵a₁，a₇，a₂₅成等比数列，
∴(a1+6d)2=a₁（a₁+24d），
∴36d²=12a₁d，又d≠0，
∴a₁=3d…3分
∴a_n=3d+（n-1）d=（n+2）d，
又ak2ak1=a7a1=9d3d=3，…5分
∴{akn}是以a₁=3d为首项，3为公比的等比数列，
∴akn=3d•3^n-1=d•3ⁿ…6分
∴（k_n+2）d=d•3ⁿ（d≠0），
∴k_n=3ⁿ-2（n∈N^*）…7分
（2）证明：∵a₁=9=3d，
∴d=3，…8分
∴akn=d•3ⁿ=3ⁿ⁺¹，又k_n=3ⁿ-2，
∴b_n=1log3akn+log3(kn+2)=1n+1+n=n+1-n，…10分
∴S_n=b₁+b₂+…+b_n=2-1+3-2+…+n+1-n
=n+1-1．故只需证n+1-1＜n2⇔n2-n+1+1＞0，
令f（x）=x2-x+1+1，…12分
则f′（x）=12-12•1x+1＞0在[1，+∞）上恒成立，
∴f（x）在[1，+∞）上单调递增，
故f（x）≥f（1）=32-2＞0，
∴x2-x+1+1＞0在[1，+∞）上恒成立，
∴n+1-1＜n2（n∈N^*），
即S_n＜n2…14分

解析

ak2ak1

考点

据考高分专家说，试题“等差数列{an}中，公差d≠0，已知数列.....”主要考查你对 [等比数列的通项公式 ]考点的理解。 等比数列的通项公式

等比数列的通项公式:

a_n=a₁q^n-1，q≠0，n∈N^*。

等比数列的通项公式的理解：

①在已知a₁和q的前提下，利用通项公式

可求出等比数列中的任意一项；
②在已知等比数列中任意两项的前提下，使用



可求等比数列中任何一项；
③用函数的观点看等比数列的通项，等比数列{a_n}的通项公式

，可以改写为

．当q>o，且q≠1时，y=q^x是一个指数函数，而

是一个不为0的常数与指数函数的积，因此等比数列{a_n}的图象是函数

的图象上的一群孤立的点；
④通项公式

亦可用以下方法推导出来：



将以上（n一1）个等式相乘，便可得到


 
⑤用方程的观点看通项公式．在a_n，q，a₁，n中，知三求一。