设数列{an}的前n项和为Sn，且3Sn=an+4．求数列{an}的通项公式；若数列{bn}满足bn=3Sn求数列{bn}的前n项和Tn．

题文

设数列{a_n}的前n项和为S_n，且3S_n=a_n+4．
（I）求数列{a_n}的通项公式；
（II）若数列{b_n}满足b_n=3S_n求数列{b_n}的前n项和T_n． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（I）∵3S_n=a_n+4，∴3S_n+1=an+1+4，
两式相减得：3（S_n+1-S_n）=a_n+1-a_n，∴an+1an=-12，
又∵3a₁=a₁+4，∴a₁=2，
∴a_n=2（-12）^n-1，
（II）由（I）得b_n=3S_n=a_n+4，
∴Tn=b₁+b₂+b₃+…+b_n=（a₁+4）+（a₂+4）+…+（a_n+4）=S_n+4n，
又∵S_n=an+43=23（-12）^n-1+43，
∴T_n=23（-12）^n-1+43，
∴T_n=23（-12）^n-1+4n+43；

解析

an+1an

考点

据考高分专家说，试题“设数列{an}的前n项和为Sn，且3Sn.....”主要考查你对 [等比数列的通项公式 ]考点的理解。 等比数列的通项公式

等比数列的通项公式:

a_n=a₁q^n-1，q≠0，n∈N^*。

等比数列的通项公式的理解：

①在已知a₁和q的前提下，利用通项公式

可求出等比数列中的任意一项；
②在已知等比数列中任意两项的前提下，使用



可求等比数列中任何一项；
③用函数的观点看等比数列的通项，等比数列{a_n}的通项公式

，可以改写为

．当q>o，且q≠1时，y=q^x是一个指数函数，而

是一个不为0的常数与指数函数的积，因此等比数列{a_n}的图象是函数

的图象上的一群孤立的点；
④通项公式

亦可用以下方法推导出来：



将以上（n一1）个等式相乘，便可得到


 
⑤用方程的观点看通项公式．在a_n，q，a₁，n中，知三求一。