在等比数列{an}中，an＞0，公比q∈，a1a5+2a3a5+a2a8=25，且2是a3与a5的等比中项，求数列{an}的通项公式

题文

在等比数列{a_n}中，a_n＞0（n∈N*），公比q∈（0，1），a₁a₅+2a₃a₅+a₂a₈=25，且2是a₃与a₅的等比中项，
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=log₂a_n，数列{b_n}的前n项和为S_n，当S11+S22+…+Snn最大时，求n的值． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）∵a₁a₅+2a₃a₅+a₂a₈=25，且2是a₃与a₅的等比中项
∴a₁²q⁴+2a₁²q⁶+a₁²q⁸=25   ①
a₁²q⁶=4   ②
解①②的a1=16，q=12
∴an=16•(12)n-1=(12)n-5
故数列{a_n}的通项公式an=(12)n-5；
（2）∵b_n=log₂a_n=5-n
∴Sn=(9-n)n2
∴Snn=9-n2
当n=9时Snn=9-n2=0
∴S11+S22+…+Snn最大时，n=8或9
故n=8或9．

解析

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考点

据考高分专家说，试题“在等比数列{an}中，an＞0（n∈N*.....”主要考查你对 [等比数列的通项公式 ]考点的理解。 等比数列的通项公式

等比数列的通项公式:

a_n=a₁q^n-1，q≠0，n∈N^*。

等比数列的通项公式的理解：

①在已知a₁和q的前提下，利用通项公式

可求出等比数列中的任意一项；
②在已知等比数列中任意两项的前提下，使用



可求等比数列中任何一项；
③用函数的观点看等比数列的通项，等比数列{a_n}的通项公式

，可以改写为

．当q>o，且q≠1时，y=q^x是一个指数函数，而

是一个不为0的常数与指数函数的积，因此等比数列{a_n}的图象是函数

的图象上的一群孤立的点；
④通项公式

亦可用以下方法推导出来：



将以上（n一1）个等式相乘，便可得到


 
⑤用方程的观点看通项公式．在a_n，q，a₁，n中，知三求一。