已知数列满足a1=1，an+1=2an+1求证：数列{an+1}是等比数列；求{an}的通项公式．

题文

已知数列满足a₁=1，a_n+1=2a_n+1（n∈N*）
（1）求证：数列{a_n+1}是等比数列；
（2）求{a_n}的通项公式． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）由a_n+1=2a_n+1得a_n+1+1=2（a_n+1），
又a_n+1≠0，
∴an+1+1an+1=2，
即{a_n+1}为等比数列；
（2）由（1）知a_n+1=（a₁+1）q^n-1，
即a_n=（a₁+1）q^n-1-1=2•2^n-1-1=2ⁿ-1．

解析

an+1+1an+1

考点

据考高分专家说，试题“已知数列满足a1=1，an+1=2an+.....”主要考查你对 [等比数列的通项公式 ]考点的理解。 等比数列的通项公式

等比数列的通项公式:

a_n=a₁q^n-1，q≠0，n∈N^*。

等比数列的通项公式的理解：

①在已知a₁和q的前提下，利用通项公式

可求出等比数列中的任意一项；
②在已知等比数列中任意两项的前提下，使用



可求等比数列中任何一项；
③用函数的观点看等比数列的通项，等比数列{a_n}的通项公式

，可以改写为

．当q>o，且q≠1时，y=q^x是一个指数函数，而

是一个不为0的常数与指数函数的积，因此等比数列{a_n}的图象是函数

的图象上的一群孤立的点；
④通项公式

亦可用以下方法推导出来：



将以上（n一1）个等式相乘，便可得到


 
⑤用方程的观点看通项公式．在a_n，q，a₁，n中，知三求一。