已知数列﹛an﹜满足：1a1+2a2+…+nan=524(52n-1)，n∈N*．求数列﹛an﹜的通项公式；设bn=log5ann，求1b1b2

题文

已知数列﹛a_n﹜满足：1a1+2a2+…+nan=524(52n-1)，n∈N*．
（Ⅰ）求数列﹛a_n﹜的通项公式；
（ II）设bn=log5ann，求1b1b2+1b2b3+…+1bnbn+1． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）当n=1时，可得1a1=5，故a₁=15
当n≥2时，由1a1+2a2+…+nan=524(52n-1)①可得1a1+2a2+…+n-1an-1=524(52n-2-1)②
①-②得nan=52n-1，所以an=n52n-1，经验证n=1时也符合，
所以数列﹛a_n﹜的通项公式为：an=n52n-1
（ II）bn=log5152n-1=1-2n，所以b_n+1=-1-2n，
所以1bnbn+1=1(2n-1)(2n+1)=12(12n-1-12n+1)，
因此1b1b2+1b2b3+…+1bnbn+1
=12(1-13+13-15+…+12n-1-12n+1)=n2n+1

解析

1a1

考点

据考高分专家说，试题“已知数列﹛an﹜满足：1a1+2a2+….....”主要考查你对 [等比数列的通项公式 ]考点的理解。 等比数列的通项公式

等比数列的通项公式:

a_n=a₁q^n-1，q≠0，n∈N^*。

等比数列的通项公式的理解：

①在已知a₁和q的前提下，利用通项公式

可求出等比数列中的任意一项；
②在已知等比数列中任意两项的前提下，使用



可求等比数列中任何一项；
③用函数的观点看等比数列的通项，等比数列{a_n}的通项公式

，可以改写为

．当q>o，且q≠1时，y=q^x是一个指数函数，而

是一个不为0的常数与指数函数的积，因此等比数列{a_n}的图象是函数

的图象上的一群孤立的点；
④通项公式

亦可用以下方法推导出来：



将以上（n一1）个等式相乘，便可得到


 
⑤用方程的观点看通项公式．在a_n，q，a₁，n中，知三求一。