已知各项均为正数的等比数列{an}中，a1=1，a3=4．求数列{an}的通项公式；设bn=52+log2an，求数列{bn}的前n项和Sn；（I

题文

已知各项均为正数的等比数列{a_n}中，a₁=1，a₃=4．
（I）求数列{a_n}的通项公式；
（II）设b_n=52+log2an，求数列{b_n}的前n项和S_n；
（III）比较12n3+2（n∈N^*）与（II）中S_n的大小，并说明理由． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（I）已知各项均为正数的等比数列{a_n}中，a₁=1，a₃=4，设公比为q，则由4=1×q²，可得q=2．
故等比数列{a_n}的通项公式为 a_n=1×2^n-2=2^n-1．
（II）由于 b_n=52+log2an=52+（n-1）=n+32，数列{b_n}为等差数列，且公差为1，故此数列的前n项和S_n =n[52+(n+32)]2=12n（n+4）．
（III）当n=1，或n=2时，经过检验，12n3+2（n∈N^*）与 12n（n+4）相等，当n=3时，经过检验，12n3+2＞12n（n+4）．
故当n≥3时，12n3+2＞12n（n+4）．
这是因为当n比较大时，函数12n3+2 的增长速度大于S_n =12n（n+4）的增长速度．

解析

52

考点

据考高分专家说，试题“已知各项均为正数的等比数列{an}中，a.....”主要考查你对 [等比数列的通项公式 ]考点的理解。 等比数列的通项公式

等比数列的通项公式:

a_n=a₁q^n-1，q≠0，n∈N^*。

等比数列的通项公式的理解：

①在已知a₁和q的前提下，利用通项公式

可求出等比数列中的任意一项；
②在已知等比数列中任意两项的前提下，使用



可求等比数列中任何一项；
③用函数的观点看等比数列的通项，等比数列{a_n}的通项公式

，可以改写为

．当q>o，且q≠1时，y=q^x是一个指数函数，而

是一个不为0的常数与指数函数的积，因此等比数列{a_n}的图象是函数

的图象上的一群孤立的点；
④通项公式

亦可用以下方法推导出来：



将以上（n一1）个等式相乘，便可得到


 
⑤用方程的观点看通项公式．在a_n，q，a₁，n中，知三求一。