等比数列{an}的前n项和为Sn，已知对任意的n∈N+，点，均在函数y=2x+r的图象上．求r的值；记bn=2（log

题文

等比数列{a_n}的前n项和为S_n，已知对任意的n∈N⁺，点（n，S_n），均在函数y=2^x+r（其中r为常数）的图象上．
（1）求r的值；
（11）记b_n=2（log₂a_n+1）（n∈N⁺
证明：对任意的n∈N⁺，不等式b1+1b1•b2+1b2…bn+1bn＞n+1成立． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）因为对任意的n∈N^*，点（n，S_n），均在函数y=2^x+r（其中r为常数）的图象上
所以得S_n=2ⁿ+r，
当n=1时，a₁=S₁=2+r，
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=2ⁿ+r-（2^n-1+r ）=2^n-1，
又因为{a_n}为等比数列，所以公比为2，r=-1，
（2）由（1）知，a_n=2^n-1，
∴b_n=2（log₂a_n+1）=2（log₂2^n-1+1）=2n
则bn+1bn=2n+12n，
所以b1+1b1•b2+1b2…bn+1bn=32•54…2n+12n
下面用数学归纳法证明不等式32•54…2n+12n＞n+1成立．
①当n=1时，左边=32，右边=2，因为32＞2，所以不等式成立．
②假设当n=k时不等式成立，即32•54…2k+12k＞k+1成立．
则当n=k+1时，左边=32•54…2k+12k•2k+32k+2＞k+1•2k+32k+2=(2k+3)24(k+1)=(k+1)+1+14(k+1)＞k+2
所以当n=k+1时，不等式也成立．
由①、②可得不等式恒成立．
∴不等式b1+1b1•b2+1b2…bn+1bn＞n+1成立．

解析

bn+1bn

考点

据考高分专家说，试题“等比数列{an}的前n项和为Sn，已知对.....”主要考查你对 [等比数列的通项公式 ]考点的理解。 等比数列的通项公式

等比数列的通项公式:

a_n=a₁q^n-1，q≠0，n∈N^*。

等比数列的通项公式的理解：

①在已知a₁和q的前提下，利用通项公式

可求出等比数列中的任意一项；
②在已知等比数列中任意两项的前提下，使用



可求等比数列中任何一项；
③用函数的观点看等比数列的通项，等比数列{a_n}的通项公式

，可以改写为

．当q>o，且q≠1时，y=q^x是一个指数函数，而

是一个不为0的常数与指数函数的积，因此等比数列{a_n}的图象是函数

的图象上的一群孤立的点；
④通项公式

亦可用以下方法推导出来：



将以上（n一1）个等式相乘，便可得到


 
⑤用方程的观点看通项公式．在a_n，q，a₁，n中，知三求一。