定义：离心率e=5-12的椭圆为“黄金椭圆”，已知椭圆E：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的一个焦点为F，P为椭圆E上的任意一点．

题文

定义：离心率e=5-12的椭圆为“黄金椭圆”，已知椭圆E：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的一个焦点为F（c，0）（c＞0），P为椭圆E上的任意一点．
（1）试证：若a，b，c不是等比数列，则E一定不是“黄金椭圆”；
（2）没E为黄金椭圆，问：是否存在过点F、P的直线l，使l与y轴的交点R满足RP=-2PF？若存在，求直线l的斜率k；若不存在，请说明理由；
（3）已知椭圆E的短轴长是2，点S（0，2），求使SP2取最大值时点P的坐标． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）假设E为黄金椭圆，则e=ca=5-12，即c=5-12a…（1分）
∴b²=a²-c²
=a2-(5-12a)2
=5-12a2
=ac．…（3分）
即a，b，c成等比数列，与已知矛盾，
故椭圆E一定不是“黄金椭圆”．…（4分）
（2）依题假设直线l的方程为y=k（x-c），
令x=0，y=-kc，即点R的坐标为（0，-kc），
∵RP=-2PF，点F（c，0），
∴点P的坐标为（2c，kc）…（6分）
∴点P在椭圆上，
∴4c2a2+k2c2 b2=1．
∵b²=ac，∴4e²+k²e=1，
故k2=1-4e2e＜0，与k²≥0矛盾．
所以，满足题意的直线不存在．…（9分）
（3）依题有b²=1，由点P（x₁，y₁）在E上知x₁²=a²（1-y₁²），
∴SP  2=|SP|2=x₁²+（y₁-2）²
=（1-a²）y₁²-4y₁+（a²+4）
=（1-a²）(y1-21-a2)2+(a2+4)-41-a2．
∵a＞1，
∴1-a²＜0，又-1≤y₁≤1，…（11分）
①当1＜a≤3时，21-a2≤-1，
∴SP²是y₁∈[-1，1]的减函数，
故y₁=-1时，SP²取得最大值，此时点P的坐标是（0，-1）．
②当a＞3时，-1＜21-a2＜1，
∴y1=21-a2时，SP 2取得最大值，
此时点P的坐标是(±aa2-1a4-2a2-3，21-a2)…（14分）

解析

ca

考点

据考高分专家说，试题“定义：离心率e=5-12的椭圆为“黄金椭.....”主要考查你对 [等比数列的通项公式 ]考点的理解。 等比数列的通项公式

等比数列的通项公式:

a_n=a₁q^n-1，q≠0，n∈N^*。

等比数列的通项公式的理解：

①在已知a₁和q的前提下，利用通项公式

可求出等比数列中的任意一项；
②在已知等比数列中任意两项的前提下，使用



可求等比数列中任何一项；
③用函数的观点看等比数列的通项，等比数列{a_n}的通项公式

，可以改写为

．当q>o，且q≠1时，y=q^x是一个指数函数，而

是一个不为0的常数与指数函数的积，因此等比数列{a_n}的图象是函数

的图象上的一群孤立的点；
④通项公式

亦可用以下方法推导出来：



将以上（n一1）个等式相乘，便可得到


 
⑤用方程的观点看通项公式．在a_n，q，a₁，n中，知三求一。