已知数列{an}的前n项和Sn与通项an满足Sn=12．求数列{an}的通项公式；设函数f=log13x，bn=f+f（a

题文

已知数列{a_n}的前n项和S_n与通项a_n满足S_n=12（1-a_n）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设函数f（x）=log13x，b_n=f（a₁）+f（a₂）+…+f（a_n），求T_n=1b1+1b2+1b3+…1bn的值． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）n≥2时，an=12(1-an) -12(1-an-1) =-12an+12an-1，
 2a_n=-a_n+a_n-1
anan-1=13，---------------------------------------------------------------------------（3分）
S1=a1=12(1-a1)得a1=13，
∴数a_n是以首a1=13，公比13的等比数列，
∴an=(13)n------（5分）
（2）∵f（x）=log13x，b_n=f（a₁）+f（a₂）+…+f（a_n），
∴bn=log 13a1+log13a2 +…+log13an=log13(a1•a2…•an)-----------（10分）
即log13(13)1+2+…+n=1+2+…+n=n(n+1)2-------------------（12分）
∴1bn=2n(n+1)=2(1n-1n+1)，
∴T_n=1b1+1b2 +…+1bn=2[(1-12)+(12-13)+…+(1n-1n+1)]=2nn+1--------（14分）

解析

12

考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}的前n项和Sn与通项an.....”主要考查你对 [等比数列的通项公式 ]考点的理解。 等比数列的通项公式

等比数列的通项公式:

a_n=a₁q^n-1，q≠0，n∈N^*。

等比数列的通项公式的理解：

①在已知a₁和q的前提下，利用通项公式

可求出等比数列中的任意一项；
②在已知等比数列中任意两项的前提下，使用



可求等比数列中任何一项；
③用函数的观点看等比数列的通项，等比数列{a_n}的通项公式

，可以改写为

．当q>o，且q≠1时，y=q^x是一个指数函数，而

是一个不为0的常数与指数函数的积，因此等比数列{a_n}的图象是函数

的图象上的一群孤立的点；
④通项公式

亦可用以下方法推导出来：



将以上（n一1）个等式相乘，便可得到


 
⑤用方程的观点看通项公式．在a_n，q，a₁，n中，知三求一。