公比不是1的等比数列{an}的通项公式an=cosnβ，且对任意的n∈N*都有an+2=an，则该数列的前2009项的积为 ______．

题文

公比不是1的等比数列{a_n}的通项公式a_n=cosnβ，且对任意的n∈N^*都有a_n+2=a_n，则该数列的前2009项的积为 ______． 题型：未知 难度：其他题型

答案

由a_n+2=a_nq²=a_n，
得到q²=1，又q≠1，所以q=-1，
令n=1，得到a₁=cosβ，n=2时，a₂=cos2β，
则a2a1=2cos2β -1cosβ=q=-1，
化简得：2cos²β+cosβ-1=0，
即（2cosβ-1）（cosβ+1）=0，
解得cosβ=12或cosβ=-1，
所以此数列前2009项分别为-1，1，-1，…，-1或12，-12，12，…，-12，
则该数列的前2009项的积为-1或-122009．
故答案为：-1或-122009

解析

a2a1

考点

据考高分专家说，试题“公比不是1的等比数列{an}的通项公式a.....”主要考查你对 [等比数列的通项公式 ]考点的理解。 等比数列的通项公式

等比数列的通项公式:

a_n=a₁q^n-1，q≠0，n∈N^*。

等比数列的通项公式的理解：

①在已知a₁和q的前提下，利用通项公式

可求出等比数列中的任意一项；
②在已知等比数列中任意两项的前提下，使用



可求等比数列中任何一项；
③用函数的观点看等比数列的通项，等比数列{a_n}的通项公式

，可以改写为

．当q>o，且q≠1时，y=q^x是一个指数函数，而

是一个不为0的常数与指数函数的积，因此等比数列{a_n}的图象是函数

的图象上的一群孤立的点；
④通项公式

亦可用以下方法推导出来：



将以上（n一1）个等式相乘，便可得到


 
⑤用方程的观点看通项公式．在a_n，q，a₁，n中，知三求一。