在数列{an}中，a1=3，a2=3，且数列{an+1+an}是公比为2的等比数列，数列{an+1-an}是公比为-1的等比数列．求数列{an}的通项公式

题文

在数列{a_n}中，a₁=3，a₂=3，且数列{a_n+1+a_n}是公比为2的等比数列，数列{a_n+1-a_n}是公比为-1的等比数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求证：当k为正奇数时，1ak+1ak+1＜32k+1
（3）求证：当n∈N+时，1a1+1a2+1a3+…+1a2n-1+1a2n＜1． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）在数列{a_n}中，a₁=3，a₂=3，
∵数列{a_n+1+a_n}是公比为2的等比数列，
∴a_n+1+a_n=（a₂+a₁）•2^n-1=3•2ⁿ，①
∵数列{a_n+1-2a_n}是公比为-1的等比数列，
∴a_n+1-2a_n=（a₂-2a₁）（-1）^n-1=3（-1）ⁿ，②
①-②得3a_n=3•2ⁿ+3•（-1）^n-1，
∴a_n=2ⁿ+（-1）^n-1…（5分）
（2）证明：当k为正奇数时，
1ak+1ak+1=12k+1+12k+1-1
=3•2k22k+1+2k-1＜32k+1，
∴当k为正奇数时，1ak+1ak+1＜32k+1…（8分）
（3）证明：当n∈N^*时，
∵1ak+1ak+1＜32k+1，
∴1a1+1a2+1a3+…+1a2n-1
=(1a1+1a2)+(1a3+1a4)+…+(1a2n-1+1a2n)
＜32 2+32 4+…+32 2n
=3×14(1-14n) 1-14
=1-14n＜1．

解析

1ak

考点

据考高分专家说，试题“在数列{an}中，a1=3，a2=3，且.....”主要考查你对 [等比数列的通项公式 ]考点的理解。 等比数列的通项公式

等比数列的通项公式:

a_n=a₁q^n-1，q≠0，n∈N^*。

等比数列的通项公式的理解：

①在已知a₁和q的前提下，利用通项公式

可求出等比数列中的任意一项；
②在已知等比数列中任意两项的前提下，使用



可求等比数列中任何一项；
③用函数的观点看等比数列的通项，等比数列{a_n}的通项公式

，可以改写为

．当q>o，且q≠1时，y=q^x是一个指数函数，而

是一个不为0的常数与指数函数的积，因此等比数列{a_n}的图象是函数

的图象上的一群孤立的点；
④通项公式

亦可用以下方法推导出来：



将以上（n一1）个等式相乘，便可得到


 
⑤用方程的观点看通项公式．在a_n，q，a₁，n中，知三求一。