已知数列{an}满足下列条件：a1=1，a2=r，且数列{anan+1}是一个以q为公比的等比数列．设bn=a2n-1+a2n，

题文

已知数列{a_n}满足下列条件：a₁=1，a₂=r（r＞0），且数列{a_na_n+1}是一个以q（q＞0）为公比的等比数列．设b_n=a_2n-1+a_2n（n∈N^*），S_n=b₁+b₂+…+b_n．
（1）求数列{b_n}的通项公式b_n；
（2）求limn→∞1sn． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）因为数列{a_na_n+1}是一个以q（q＞0）为公比的等比数列
所以anan+1an-1   an=an1an-1=q（n≥2），因此bn+1bn=a2n+1+a2n+2a2n-1+a2n=q
所以{b_n}是一个以1+r为首项，以q为公比的等比数列．
∴bn=(1+r)•qn-1
（2）q=1时，S_n=（1+r）n，limn→∞ 1Sn =0
q≠1时，Sn=(1+r)(1-qn)1-q，limn→∞1Sn=limn→∞1-q(1+r)(1-qn)
若0＜q＜1，limn→∞1Sn=1-q1+r
若q＞1，limn→∞1Sn=0
∴limn→∞1Sn=0，q≥11-q1+r，0＜q＜1

解析

anan+1an-1   an

考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}满足下列条件：a1=1，.....”主要考查你对 [等比数列的通项公式 ]考点的理解。 等比数列的通项公式

等比数列的通项公式:

a_n=a₁q^n-1，q≠0，n∈N^*。

等比数列的通项公式的理解：

①在已知a₁和q的前提下，利用通项公式

可求出等比数列中的任意一项；
②在已知等比数列中任意两项的前提下，使用



可求等比数列中任何一项；
③用函数的观点看等比数列的通项，等比数列{a_n}的通项公式

，可以改写为

．当q>o，且q≠1时，y=q^x是一个指数函数，而

是一个不为0的常数与指数函数的积，因此等比数列{a_n}的图象是函数

的图象上的一群孤立的点；
④通项公式

亦可用以下方法推导出来：



将以上（n一1）个等式相乘，便可得到


 
⑤用方程的观点看通项公式．在a_n，q，a₁，n中，知三求一。