已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=2an-l；数列{bn}满足bn-1-bn=bnbn-1b1=1．求数列{an}，{bn}的

题文

已知数列{ a_n}的前n项和为S_n，且S_n=2a_n-l；数列{b_n}满足b_n-1-b_n=b_nb_n-1（n≥2，n∈N^*）b₁=1．
（Ⅰ）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）求数列{anbn}的前n项和T． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）当n=1时，a₁=S₁=2a₁-1，解得a₁=1．
又当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=2a_n-1-（2a_n-1-1）=2a_n-2a_n-1，
∴a_n=2a_n-1（n≥2）．
∴数列{a_n}是首项为1，公比为2的等比数列．
∴an=1×2n-1=2n-1(n∈N*)．
由b_n-1-b_n=b_nb_n-1，得1bn-1bn-1=1．
又b₁=1，所以数列{1bn}是首项为1b1=11=1，公差为1的等差数列．
∴1bn=1+(n-1)×1=n．
∴bn=1n．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得：anbn=n•2n-1，
∴T_n=1×2⁰+2×2¹+…+n•2^n-1，
2T_n=1×2¹+2×2²+…+（n-1）•2^n-1+n•2ⁿ，．
两式相减，得-Tn=1+21+22+…+2n-1-n•2n=1×(2n-1)2-1-n•2ⁿ=2ⁿ-1-n•2ⁿ．
∴Tn=(n-1)•2n+1．

解析

1bn

考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn.....”主要考查你对 [等比数列的通项公式 ]考点的理解。 等比数列的通项公式

等比数列的通项公式:

a_n=a₁q^n-1，q≠0，n∈N^*。

等比数列的通项公式的理解：

①在已知a₁和q的前提下，利用通项公式

可求出等比数列中的任意一项；
②在已知等比数列中任意两项的前提下，使用



可求等比数列中任何一项；
③用函数的观点看等比数列的通项，等比数列{a_n}的通项公式

，可以改写为

．当q>o，且q≠1时，y=q^x是一个指数函数，而

是一个不为0的常数与指数函数的积，因此等比数列{a_n}的图象是函数

的图象上的一群孤立的点；
④通项公式

亦可用以下方法推导出来：



将以上（n一1）个等式相乘，便可得到


 
⑤用方程的观点看通项公式．在a_n，q，a₁，n中，知三求一。