设点P是圆x2+y2=4上任意一点，由点P向x轴作垂线PP0，垂足为Po，且MP0=32pp0．求点M的轨迹C的方程；设直线l：y=kx+m（m≠0

题文

设点P是圆x²+y²=4上任意一点，由点P向x轴作垂线PP₀，垂足为P_o，且MP0=32pp0．
（Ⅰ）求点M的轨迹C的方程；
（Ⅱ）设直线l：y=kx+m（m≠0）与（Ⅰ）中的轨迹C交于不同的两点A，B．
（1）若直线OA，AB，OB的斜率成等比数列，求实数m的取值范围；
（2）若以AB为直径的圆过曲线C与x轴正半轴的交点Q，求证：直线l过定点（Q点除外），并求出该定点的坐标． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）设点M（x，y），P（x₀，y₀），则由题意知P₀（x₀，0）．
由MP0=(x0-x，-y)，PP0=（0，-y₀），且MP0=32PP0，得（x₀-x，-y）=32（0，-y₀）．
所以x0-x=0-y=-32y0，于是x0=xy0=23y，
又x02+y02=4，所以x2+43y2=4．
所以，点M的轨迹C的方程为x24+y23=1．
（Ⅱ）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
联立y=kx+mx24+y23=1，得（3+4k²）x²+8mkx+4（m²-3）=0．
所以，△=（8mk）²-16（3+4k²）（m²-3）＞0，即3+4k²-m²＞0．①，且x1+x2=-8mk3+4k2x1x2=4(m2-3)3+4k2，
（1）依题意，kAB2=kOA•kOB，即k2=y1y2x1x2，所以k2=kx1+mx1•kx2+mx2．
所以x1x2k2=k²x₁x₂+km（x₁+x₂）+m²．
所以km（x₁+x₂）+m²=0，即km（-8mk3+4k2）+m²=0．
因为m≠0，所以k（-8k3+4k2）+1=0，解得k2=34．
将得k2=34代入①，得m²＜6．
所以，m的取值范围是（-6，0）∪（0，6）．
（2）曲线x24+y23=1与x轴正半轴的交点为Q（2，0）．
依题意，AQ⊥BQ，即AQ•BQ=0．
于是（2-x₁，-y₁）•（2-x₂，-y₂）=0．
∴x1 x₂-2（x₁+x₂）+4+y₁y₂=0，即x1 x₂-2（x₁+x₂）+4+（kx₁+m）（kx₂+m）=0，
∴（k²+1）•4(m2-3)3+4k2+（km-2）•（-8mk3+4k2）+4+m²=0，
化简，得7m²+16mk+4k²=0．
解得，m=-2k或m=-2k7，且均满足3+4k²-m²＞0，
当m=-2k时，直线l的方程为y=k（x-2），直线过定点（2，0）（舍去）；
当m=-2k7时，直线l的方程为y=k（x-27），直线过定点（27，0）．
所以，直线过定点（27，0）．

解析

MP0

考点

据考高分专家说，试题“设点P是圆x2+y2=4上任意一点，由点.....”主要考查你对 [等比数列的通项公式 ]考点的理解。 等比数列的通项公式

等比数列的通项公式:

a_n=a₁q^n-1，q≠0，n∈N^*。

等比数列的通项公式的理解：

①在已知a₁和q的前提下，利用通项公式

可求出等比数列中的任意一项；
②在已知等比数列中任意两项的前提下，使用



可求等比数列中任何一项；
③用函数的观点看等比数列的通项，等比数列{a_n}的通项公式

，可以改写为

．当q>o，且q≠1时，y=q^x是一个指数函数，而

是一个不为0的常数与指数函数的积，因此等比数列{a_n}的图象是函数

的图象上的一群孤立的点；
④通项公式

亦可用以下方法推导出来：



将以上（n一1）个等式相乘，便可得到


 
⑤用方程的观点看通项公式．在a_n，q，a₁，n中，知三求一。