已知{an}为等比数列，其前n项和为Sn，且Sn=2n+a．求a的值及数列{an}的通项公式；若bn=nan，求数列{bn}的前n项和T

题文

已知{a_n}为等比数列，其前n项和为S_n，且Sn=2n+a（n∈N^*）．
（1）求a的值及数列{a_n}的通项公式；
（2）若b_n=na_n，求数列{b_n}的前n项和T_n． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）当n=1时，S₁=a₁=2+a≠0．…（1分）
当n≥2时，an=Sn-Sn-1=2n-1．…（3分）
因为{a_n}是等比数列，
所以a1=2+a=21-1=1，即a₁=1．a=-1．…（5分）
所以数列{a_n}的通项公式为an=2n-1（n∈N^*）．…（6分）
（2）由（1）得bn=nan=n•2n-1，设数列{b_n}的前n项和为T_n．
则Tn=1×1+2×2+3×22+4×23+…+n•2n-1．①
2Tn= 1×2+2×22+3×23+…+(n-1)•2n-1+n•2n．②
①-②得 -Tn=1×1+1×2+1×22+…+1×2n-1-n•2n…（9分）
=1+（2+2²+…+2^n-1）-n•2ⁿ=1-2（1-2^n-1）-n•2ⁿ…（11分）
=-（n-1）•2ⁿ-1．…（12分）
所以Tn=(n-1)•2n+1．…（13分）

解析

该题暂无解析

考点

据考高分专家说，试题“已知{an}为等比数列，其前n项和为Sn.....”主要考查你对 [等比数列的通项公式 ]考点的理解。 等比数列的通项公式

等比数列的通项公式:

a_n=a₁q^n-1，q≠0，n∈N^*。

等比数列的通项公式的理解：

①在已知a₁和q的前提下，利用通项公式

可求出等比数列中的任意一项；
②在已知等比数列中任意两项的前提下，使用



可求等比数列中任何一项；
③用函数的观点看等比数列的通项，等比数列{a_n}的通项公式

，可以改写为

．当q>o，且q≠1时，y=q^x是一个指数函数，而

是一个不为0的常数与指数函数的积，因此等比数列{a_n}的图象是函数

的图象上的一群孤立的点；
④通项公式

亦可用以下方法推导出来：



将以上（n一1）个等式相乘，便可得到


 
⑤用方程的观点看通项公式．在a_n，q，a₁，n中，知三求一。