已知：数列{an}前n项和为Sn，an+Sn=n，数列{bn}中b1=a1，bn+1=an+1-an，写出数列{an}的前四项；猜想数列{an}的通

题文

已知：数列{a_n}前n项和为S_n，a_n+S_n=n，数列{b_n}中b₁=a₁，b_n+1=a_n+1-a_n，
（1）写出数列{a_n}的前四项；
（2）猜想数列{a_n}的通项公式，并加以证明；
（3）求数列{b_n}的通项公式． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）∵a_n+S_n=n，∴n=1时，a1=12
n=2时，a₂+S₂=2，∴a2=34
n=3时，a₃+S₃=3，∴a3=78
n=4时，a₄+S₄=4，∴a4=1516；…（2分）
（2）猜想：an=1-12n，下面用数学归纳法证明：…（3分）
①当n=1时，a1=1-121=12，猜想成立；
②假设当n=k时猜想成立，即ak=1-12k，
则当n=k+1时，ak+1=Sk+1-Sk=(k+1)-ak+1-k+ak=-ak+1+1+1-12k，
即2ak+1=2-12k，∴ak+1=1-12k+1，即当n=k+1时猜想也成立，
∴由①②知：n∈N^*时an=1-12n都成立．…（8分）
（3）∵b_n+1=a_n+1-a_n，∴bn=an-an-1=12n（n≥2），
∵b1=a1=12，∴bn=12n（n∈N^*）．…（10分）

解析

12

考点

据考高分专家说，试题“已知：数列{an}前n项和为Sn，an+.....”主要考查你对 [等比数列的通项公式 ]考点的理解。 等比数列的通项公式

等比数列的通项公式:

a_n=a₁q^n-1，q≠0，n∈N^*。

等比数列的通项公式的理解：

①在已知a₁和q的前提下，利用通项公式

可求出等比数列中的任意一项；
②在已知等比数列中任意两项的前提下，使用



可求等比数列中任何一项；
③用函数的观点看等比数列的通项，等比数列{a_n}的通项公式

，可以改写为

．当q>o，且q≠1时，y=q^x是一个指数函数，而

是一个不为0的常数与指数函数的积，因此等比数列{a_n}的图象是函数

的图象上的一群孤立的点；
④通项公式

亦可用以下方法推导出来：



将以上（n一1）个等式相乘，便可得到


 
⑤用方程的观点看通项公式．在a_n，q，a₁，n中，知三求一。