已知数列{an}是一个递增的等比数列，数列的前n的和为Sn，且a2=4，S3=14，求{an}的通项公式；若cn=log2an，求数列{1cncn+

题文

已知数列{a_n}是一个递增的等比数列，数列的前n的和为S_n，且a₂=4，S₃=14，
（1）求{a_n}的通项公式；
（2）若c_n=log₂a_n，求数列{1cncn+1}的前n项之和T_n． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）设首项为a₁，公比为q，
由条件可得a2=4a1+a2+a3=14，
即a1q=4a1+a1q+a1q2=14，
解之得a1=8q=12或a1=2q=2，
又∵数列为递增的，
∴q=2∴a_n=a₁q^n-1=2ⁿ；
（2）∵c_n=log₂a_n=log₂2ⁿ=n，
∴1Cn=1n，
∴1cncn+1=1n(n+1)=1n-1n+1，
∴Tn=1c1c2+1c2c3++1cncn+1=(1-12)+(12-13)++(1n-1n+1)=1-1n+1=nn+1．

解析

a2=4a1+a2+a3=14

考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}是一个递增的等比数列，数.....”主要考查你对 [等比数列的通项公式 ]考点的理解。 等比数列的通项公式

等比数列的通项公式:

a_n=a₁q^n-1，q≠0，n∈N^*。

等比数列的通项公式的理解：

①在已知a₁和q的前提下，利用通项公式

可求出等比数列中的任意一项；
②在已知等比数列中任意两项的前提下，使用



可求等比数列中任何一项；
③用函数的观点看等比数列的通项，等比数列{a_n}的通项公式

，可以改写为

．当q>o，且q≠1时，y=q^x是一个指数函数，而

是一个不为0的常数与指数函数的积，因此等比数列{a_n}的图象是函数

的图象上的一群孤立的点；
④通项公式

亦可用以下方法推导出来：



将以上（n一1）个等式相乘，便可得到


 
⑤用方程的观点看通项公式．在a_n，q，a₁，n中，知三求一。