已知{an}是各项均为正数的等比数列，且a1+a2=2(1a1+1a2)，a3+a4=32(1a3+1a4)．求{an}的通项公式；设bn=an2+

题文

已知{a_n}是各项均为正数的等比数列，且a1+a2=2(1a1+1a2)，a3+a4=32(1a3+1a4)．
（Ⅰ）求{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设b_n=a_n²+log₂a_n，求数列{b_n}的前n项和T_n． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）设等比数列{a_n}的公比为q，则a_n=a₁q^n-1，由已知得：
a1+a1q=2(1a1+1a1q) a1q2+a1q3 =32(1a1q2+1a1q3) ，
化简得：a12q(q+1)=2(q+1)a12q5 (q+1)=32(q+1)，即a12q=2a12q5=32，
又a₁＞0，q＞0，解得：a1=1q=2，
∴a_n=2^n-1；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知b_n=a_n²+log₂a_n=4^n-1+（n-1）
∴T_n=（1+4+4²+…+4^n-1）+（1+2+3+…+n-1）
=4n-14-1+n(n-1)2
=4n-13+n(n-1)2．

解析

a1+a1q=2(1a1+1a1q) a1q2+a1q3 =32(1a1q2+1a1q3) 

考点

据考高分专家说，试题“已知{an}是各项均为正数的等比数列，且.....”主要考查你对 [等比数列的通项公式 ]考点的理解。 等比数列的通项公式

等比数列的通项公式:

a_n=a₁q^n-1，q≠0，n∈N^*。

等比数列的通项公式的理解：

①在已知a₁和q的前提下，利用通项公式

可求出等比数列中的任意一项；
②在已知等比数列中任意两项的前提下，使用



可求等比数列中任何一项；
③用函数的观点看等比数列的通项，等比数列{a_n}的通项公式

，可以改写为

．当q>o，且q≠1时，y=q^x是一个指数函数，而

是一个不为0的常数与指数函数的积，因此等比数列{a_n}的图象是函数

的图象上的一群孤立的点；
④通项公式

亦可用以下方法推导出来：



将以上（n一1）个等式相乘，便可得到


 
⑤用方程的观点看通项公式．在a_n，q，a₁，n中，知三求一。