设Sn是等比数列{an}的前n项和，且S3=74，S6=634．求{an}的通项公式an；设bn=log2an，求数列{bn}的前n项和Tn．

题文

设S_n是等比数列{a_n}的前n项和，且S3=74，S6=634．
（1）求{a_n}的通项公式a_n；
（2）设b_n=log₂a_n，求数列{b_n}的前n项和T_n． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）设{a_n}的首项为a₁，公比为q
当q=1时，S₃=3a₁，S₆=6a₁，则S₆=2S₃，不合题意； …（2分）
当q≠1时，a1(1-q3)1-q=74a1(1-q6)1-q=634，两式相除得1+q³=9，
∴q=2，
∴a1=14…（6分）
∴a_n=a₁q^n-1=14×2^n-1=2^n-3…（8分）
（2）b_n=log₂a_n=log₂2^n-3=n-3，…11分
∴b₁=-2，
∴T_n=n(b1+bn)2=n(-2+n-3)2=n(n-5)2…14分

解析

a1(1-q3)1-q=74a1(1-q6)1-q=634

考点

据考高分专家说，试题“设Sn是等比数列{an}的前n项和，且S.....”主要考查你对 [等比数列的通项公式 ]考点的理解。 等比数列的通项公式

等比数列的通项公式:

a_n=a₁q^n-1，q≠0，n∈N^*。

等比数列的通项公式的理解：

①在已知a₁和q的前提下，利用通项公式

可求出等比数列中的任意一项；
②在已知等比数列中任意两项的前提下，使用



可求等比数列中任何一项；
③用函数的观点看等比数列的通项，等比数列{a_n}的通项公式

，可以改写为

．当q>o，且q≠1时，y=q^x是一个指数函数，而

是一个不为0的常数与指数函数的积，因此等比数列{a_n}的图象是函数

的图象上的一群孤立的点；
④通项公式

亦可用以下方法推导出来：



将以上（n一1）个等式相乘，便可得到


 
⑤用方程的观点看通项公式．在a_n，q，a₁，n中，知三求一。