，已知y=f是定义在R上的单调递减函数，对任意的实数x，y都有f=ff且f=1，数列{an}满足a1=4，f(log3-an+

题文

，已知y=f（x）是定义在R上的单调递减函数，对任意的实数x，y都有f（x+y）=f（x）f（y）且f（0）=1，数列{a_n}满足a₁=4，f(log3-an+14)f(-1-log3an4)=1（n∈N^*）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设S_n是数列{a_n}的前n项和，试比较S_n与6n²-2的大小． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）由题设知f(log3-an+14)f(-1-log3an4)=1（n∈N^*），可化为f(log3an+14-1-log3an4)=f(0)．
所以有log3+an+14-1-log3an4=0，
即log3an+14-log3an4=1．
因此数列{log3a14}是以log3a14=0为首项，1为公差的等差数列．
所以log3an4=n-1，即a_n=4×3^n-1（n∈N^*）．
（2）S_n=a₁+a₂+a₃++a_n=4（1+3¹+3²++3^n-1）=2（3ⁿ-1），
当n=1时，有S_n=6n²-2=4；
当n=2时，有S_n=16＜6n²-2=22；
当n=3时，有S_n=6n²-2=52；
当n=4时，有S_n=160＞6n²-2=94；
当n=5时，有S_n=484＞6n²-2=148；
…
由此猜想当n≥4时，有S_n＞6n²-2，
即3^n-1＞n²．
下面由数学归纳法证明：
①当n=4时，显然成立；
②假设n=k（k≥4，k∈N^*）时，有3^k-1＞k²．
当n=k+1时，3^k=3×3^k-1＞3k²，
因为k≥4，所以k（k-1）≥12．
所以3k²-（k+1）²=2k（k-1）-1＞0，
即3k²＞（k+1）²．
故3^k＞3k²＞（k+1）²，
因此当n=k+1时原式成立．
由①②可知，当n≥4时，有3^n-1＞n²，
即S_n＞6n²-2．
故当n=1，3时，有S_n=6n²-2；
当n=2时，有S_n＜6n²-2；
当n≥4时，有S_n＞6n²-2．

解析

an+14

考点

据考高分专家说，试题“，已知y=f（x）是定义在R上的单调递减.....”主要考查你对 [等比数列的通项公式 ]考点的理解。 等比数列的通项公式

等比数列的通项公式:

a_n=a₁q^n-1，q≠0，n∈N^*。

等比数列的通项公式的理解：

①在已知a₁和q的前提下，利用通项公式

可求出等比数列中的任意一项；
②在已知等比数列中任意两项的前提下，使用



可求等比数列中任何一项；
③用函数的观点看等比数列的通项，等比数列{a_n}的通项公式

，可以改写为

．当q>o，且q≠1时，y=q^x是一个指数函数，而

是一个不为0的常数与指数函数的积，因此等比数列{a_n}的图象是函数

的图象上的一群孤立的点；
④通项公式

亦可用以下方法推导出来：



将以上（n一1）个等式相乘，便可得到


 
⑤用方程的观点看通项公式．在a_n，q，a₁，n中，知三求一。