已知{an}是各项为正数的等比数列，且a1a3+2a2a4+a3a5=100，4是a2和a4的一个等比中项．求数列{an}的通项公式；若{an}的公

题文

已知{a_n}是各项为正数的等比数列，且a₁a₃+2a₂a₄+a₃a₅=100，4是a₂和a₄的一个等比中项．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若{a_n}的公比q∈（0，1），设b_n=a_n•log₂a_n，求数列{b_n}的前n项和S_n． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）a_n是各项为正数的等比数列，且a₁a₃+2a₂a₄+a₃a₅=100∴a₂²+2a₂a₄+a₄²=100，（a₂+a₄）²=100即：a₂+a₄=10，
由a2+a4=10a2a4=42=16⇒a2=2a4=8或a2=8a4=2，
1当a2=2a4=8时，q2=a4a2=4⇒q=2(q=-26舍去），a_n=a₂q^n-2=2^n-1，
②当a2=8a4=2时，q2=a4a2=14⇒q=12(q=-12舍去），a_n=a₂q^n-2=2^5-n，
（2）若0＜q＜1，则：a_n=a₂q^n-2=2^5-nlog₂a_n=5-nb_n=a_nlog₂a_n=（5-n）•2^5-n
∴S_n=4•2⁴+3•2³+2•2²+…+（5-n）•2^5-n，
12S_n=4•2³+3•2²+2•2¹+…+（5-n）•2^4-n，
两式相减得：12S_n=4•2⁴-（2³+2²+2¹++2^5-n）-（5-n）•2^4-n=64-23(1-21-n)1-2-1-(5-n)•24-n，
S_n=96+（n-3）•2^5-n．

解析

a2+a4=10a2a4=42=16

考点

据考高分专家说，试题“已知{an}是各项为正数的等比数列，且a.....”主要考查你对 [等比数列的通项公式 ]考点的理解。 等比数列的通项公式

等比数列的通项公式:

a_n=a₁q^n-1，q≠0，n∈N^*。

等比数列的通项公式的理解：

①在已知a₁和q的前提下，利用通项公式

可求出等比数列中的任意一项；
②在已知等比数列中任意两项的前提下，使用



可求等比数列中任何一项；
③用函数的观点看等比数列的通项，等比数列{a_n}的通项公式

，可以改写为

．当q>o，且q≠1时，y=q^x是一个指数函数，而

是一个不为0的常数与指数函数的积，因此等比数列{a_n}的图象是函数

的图象上的一群孤立的点；
④通项公式

亦可用以下方法推导出来：



将以上（n一1）个等式相乘，便可得到


 
⑤用方程的观点看通项公式．在a_n，q，a₁，n中，知三求一。