在数列{an}中，a1=5，an+1=3an-4n+2，其中n∈N*．设bn=an-2n，求数列{bn}的通项公式；记数列{an}的前n项和为Sn，

题文

在数列{a_n}中，a₁=5，a_n+1=3a_n-4n+2，其中n∈N^*．
（1）设b_n=a_n-2n，求数列{b_n}的通项公式；
（2）记数列{a_n}的前n项和为S_n，试比较S_n与n²+2011n的大小． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）由a_n+1=3a_n-4n+2得a_n+1-2（n+1）=3（a_n-2n），
又a₁-2=1≠0，a_n-2n≠0，得an+1-2(n+1)an-2n=3，
所以，数列{a_n-2n}是首项为3，公比为3的等比数列，
所以，b_n=3ⁿ．
（2）a_n-2n=3ⁿ⇒a_n=2n+3ⁿ，Sn=32(3n-1)+n(n+1)，Sn-(n2+2011n)=32(3n-1)-2010n=32(3n-1340n-1)．
设c_n=3ⁿ-1340n-1，
由于c_n+1-c_n=2•3ⁿ-1340
当n＜6时，c_n+1＜c_n
当n≥6时，c_n+1＞c_n
即，当n＜6时，数列{c_n}是递减数列，当n≥6时，数列{c_n}是递增数列
又c₁=-4018＜0，c₈=-4160＜0，c₉=7622＞0
所以，当n≤8时，S_n＜n²+2011n；
所以，当n＞8时，S_n＞n²+2011n．

解析

an+1-2(n+1)an-2n

考点

据考高分专家说，试题“在数列{an}中，a1=5，an+1=3.....”主要考查你对 [等比数列的通项公式 ]考点的理解。 等比数列的通项公式

等比数列的通项公式:

a_n=a₁q^n-1，q≠0，n∈N^*。

等比数列的通项公式的理解：

①在已知a₁和q的前提下，利用通项公式

可求出等比数列中的任意一项；
②在已知等比数列中任意两项的前提下，使用



可求等比数列中任何一项；
③用函数的观点看等比数列的通项，等比数列{a_n}的通项公式

，可以改写为

．当q>o，且q≠1时，y=q^x是一个指数函数，而

是一个不为0的常数与指数函数的积，因此等比数列{a_n}的图象是函数

的图象上的一群孤立的点；
④通项公式

亦可用以下方法推导出来：



将以上（n一1）个等式相乘，便可得到


 
⑤用方程的观点看通项公式．在a_n，q，a₁，n中，知三求一。