已知函数f=m•2x+t的图象经过点A，B，及C，Sn为数列{an}的前n项的和，n∈N*求Sn及an设bn=

题文

已知函数f（x）=m•2^x+t的图象经过点A（1，1），B（2，3），及C（n，S_n），S_n为数列{a_n}的前n项的和，n∈N^*
（1）求S_n及a_n
（2）设b_n=log₂a_n-1，数列{b_n}的前n项和为T_n，求证：1T4+1T5+…+1Tn＜119(n≥4，n∈N*)． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）由2m+t=1得t=-1
4m+t=3m=1（2分）
所以f（x）=2^x-1则S_n=2ⁿ-1n∈N^*（4分）
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=2^n-1
当n=1时，a₁=S₁=1满足上式，所以a_n=2^n-1（n∈N^*）（6分）
（2）证明：因为b_n=log₂a_n-1=n-2
所以Tn=(n-2-1)n2=n(n-3)2（8分）
所以，当n≥4时，1Tn=2n(n-3)=23(1n-3-1n)（10分）
所以1T4+1T5++1Tn=23(1-14)+23(12-15)+23(13-16)+
+23(1n-3-1n)=23(1+12+13-1n-2-1n-1-1n)＜119（13分）

解析

(n-2-1)n2

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f（x）=m•2x+t的图象经过.....”主要考查你对 [等比数列的通项公式 ]考点的理解。 等比数列的通项公式

等比数列的通项公式:

a_n=a₁q^n-1，q≠0，n∈N^*。

等比数列的通项公式的理解：

①在已知a₁和q的前提下，利用通项公式

可求出等比数列中的任意一项；
②在已知等比数列中任意两项的前提下，使用



可求等比数列中任何一项；
③用函数的观点看等比数列的通项，等比数列{a_n}的通项公式

，可以改写为

．当q>o，且q≠1时，y=q^x是一个指数函数，而

是一个不为0的常数与指数函数的积，因此等比数列{a_n}的图象是函数

的图象上的一群孤立的点；
④通项公式

亦可用以下方法推导出来：



将以上（n一1）个等式相乘，便可得到


 
⑤用方程的观点看通项公式．在a_n，q，a₁，n中，知三求一。