已知{an}为递增的等比数列，且{a1，a3，a5}⊂{-10，-6，-2，0，1，3，4，16}．求数列{an}的通项公式；是否存在等差数列{b

题文

已知{a_n}为递增的等比数列，且{a₁，a₃，a₅}⊂{-10，-6，-2，0，1，3，4，16}．
（I）求数列{a_n}的通项公式；
（II）是否存在等差数列{b_n}，使得a₁b_n+a₂b_n-1+a₃b_n-2+…+a_nb₁=2ⁿ⁺¹-n-2对一切n∈N*都成立？若存在，求出b_n；若不存在，说明理由． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（I）因为{a_n}是递增的等比数列，所以数列{a_n}公比q＞0，首项a₁＞0，
又{a₁，a₃，a₅}⊂{-10，-6，-2，0，1，3，4，16}，
所以a₁=1，a₃=4，a_s=16（3分）
从而q2=a3a1=4，q=2，a_n=a₁q^n-1=2^n-1
所以数列{a_n}的通项公式为a_n=2^n-1（6分）
（II）假设存在满足条件的等整数列{b_n}，其公差为d，则当n=1时，a₁b₁=1，
又∵a₁=1，∴b₁=1；
当n=2时，a₁b₂+a₂b₁=4，b₂+2b₁=4，b₂=2
则d=b₂-b₁=1，∴b_n=b₁+（n-1）d=1+（n-1）×1=n（8分）
以下证明当b_n=n时，a₁b_n+a₂b_n-1++a_n-1b₂+a_nb₁=2ⁿ⁺¹-n-2对一切n∈N*都成立．
设S_n=a₁b_n+a₂b_n-1+…+a_n-1b₂+a_nb₁，
即S_n=1×n+2×（n-1）+2²×（n-2）+2³×（n-3）+…+2^n-2×2+2^n-1×1，（1）
2S_n=2×n+2²×（n-1）+2³×（n-2）+…+2^n-1×2+2ⁿ×1，（2）
（2）-（1）得S_n=-n+2+2²+2³++2^n-1+2ⁿ=-n+2(1-2n)1-2=2n+1-n-2，
所以存在等差数列{b_n}，b_n=n使得a₁b_n+a₂b_n-1+a₃b_n-2+a_nb₁=2ⁿ⁺¹-n-2对一切n∈N*都成立（12分）

解析

a3a1

考点

据考高分专家说，试题“已知{an}为递增的等比数列，且{a1，.....”主要考查你对 [等比数列的通项公式 ]考点的理解。 等比数列的通项公式

等比数列的通项公式:

a_n=a₁q^n-1，q≠0，n∈N^*。

等比数列的通项公式的理解：

①在已知a₁和q的前提下，利用通项公式

可求出等比数列中的任意一项；
②在已知等比数列中任意两项的前提下，使用



可求等比数列中任何一项；
③用函数的观点看等比数列的通项，等比数列{a_n}的通项公式

，可以改写为

．当q>o，且q≠1时，y=q^x是一个指数函数，而

是一个不为0的常数与指数函数的积，因此等比数列{a_n}的图象是函数

的图象上的一群孤立的点；
④通项公式

亦可用以下方法推导出来：



将以上（n一1）个等式相乘，便可得到


 
⑤用方程的观点看通项公式．在a_n，q，a₁，n中，知三求一。