已知an=2n+3n，bn=an+1+kan，若{bn}是等比数列，则k=______．

题文

已知a_n=2ⁿ+3ⁿ，b_n=a_n+1+ka_n，若{b_n}是等比数列，则k=______． 题型：未知 难度：其他题型

答案

因为{b_n} 是等比数列，故有
  （a_n+1+ka_n）²=（a_n+2+ka_n+1）（a_n+ka_n-1），
将a_n=2ⁿ+3ⁿ代入上式，得
[2ⁿ⁺¹+3^n+1_+k（2ⁿ+3ⁿ）]²
=[2ⁿ⁺²+3^n+2_+k（2ⁿ⁺¹+3ⁿ⁺¹）]•[2ⁿ+3^n_+k（2^n-1+3^n-1）]，
即[（2+k）2ⁿ+（3+k）3ⁿ]²
=[（2+k）2ⁿ⁺¹+（3+k）3ⁿ⁺¹][（2+k）2^n-1+（3+k）3^n-1]，
整理得 16（2+k）（3+k）•2ⁿ•3ⁿ=0，
解k-=2或k=-3．
故答案为：-2或-3

解析

16

考点

据考高分专家说，试题“已知an=2n+3n，bn=an+1+k.....”主要考查你对 [等比数列的通项公式 ]考点的理解。 等比数列的通项公式

等比数列的通项公式:

a_n=a₁q^n-1，q≠0，n∈N^*。

等比数列的通项公式的理解：

①在已知a₁和q的前提下，利用通项公式

可求出等比数列中的任意一项；
②在已知等比数列中任意两项的前提下，使用



可求等比数列中任何一项；
③用函数的观点看等比数列的通项，等比数列{a_n}的通项公式

，可以改写为

．当q>o，且q≠1时，y=q^x是一个指数函数，而

是一个不为0的常数与指数函数的积，因此等比数列{a_n}的图象是函数

的图象上的一群孤立的点；
④通项公式

亦可用以下方法推导出来：



将以上（n一1）个等式相乘，便可得到


 
⑤用方程的观点看通项公式．在a_n，q，a₁，n中，知三求一。