数列{an}满足a1=2，a2=5，an+2=3an+1-2an．求证：数列{an+1-an}是等比数列；求数列{an}的通项公式；求数列{a

题文

数列{a_n}满足a₁=2，a₂=5，a_n+2=3a_n+1-2a_n．
（1）求证：数列{a_n+1-a_n}是等比数列；
（2）求数列{a_n}的通项公式；
（3）求数列{a_n}的前n项和S_n． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）由题意知：a_n+2-a_n+1=2（a_n+1-a_n）．
∴an+2-an+1an+1-an=2，故数列{an+1-an}是等比数列（4分）．
（2）由（1）知数列{a_n+1-a_n}以是a₂-a₁=3为首项，以2为公比的等比数列，
∴a_n+1-a_n=3•2^n-1，
∴a₂-a₁=3•2⁰，a₃-a₂=3•2¹，a₄-a₃=3•2²，…，a_n-a_n-1=3•2^n-2，
∴an-a1=3(1-2n-1)1-2=3(2n-1-1)．即an=3•2n-1-1.（8分）
（3）∵a_n=3•2^n-1-1，
∴s_n=3•1-2n1-2-n=3•2ⁿ-n-3．（12分）

解析

an+2-an+1an+1-an

考点

据考高分专家说，试题“数列{an}满足a1=2，a2=5，an.....”主要考查你对 [等比数列的通项公式 ]考点的理解。 等比数列的通项公式

等比数列的通项公式:

a_n=a₁q^n-1，q≠0，n∈N^*。

等比数列的通项公式的理解：

①在已知a₁和q的前提下，利用通项公式

可求出等比数列中的任意一项；
②在已知等比数列中任意两项的前提下，使用



可求等比数列中任何一项；
③用函数的观点看等比数列的通项，等比数列{a_n}的通项公式

，可以改写为

．当q>o，且q≠1时，y=q^x是一个指数函数，而

是一个不为0的常数与指数函数的积，因此等比数列{a_n}的图象是函数

的图象上的一群孤立的点；
④通项公式

亦可用以下方法推导出来：



将以上（n一1）个等式相乘，便可得到


 
⑤用方程的观点看通项公式．在a_n，q，a₁，n中，知三求一。