已知数列{an}满足a1=14，2an+an-1=(-1)nan•an-1(n≥2，n∈N*)，an≠0．求证：数列{1an+(-1)n}是等比数列，并求

题文

已知数列{a_n}满足a1=14，2an+an-1=(-1)nan•an-1(n≥2，n∈N*)，an≠0．
（1）求证：数列{1an+(-1)n}是等比数列，并求{a_n}的通项公式；
（2）设bn=an•sin(2n-1)π2，数列{b_n}的前n项和为T_n，求证：对任意的n∈N*，有Tn＜23成立． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）由2a_n+a_n-1=（-1）ⁿa_n•a_n-1
得1an=(-1)n-2an-1(n≥2，n∈N*)
∴1an+(-1)n=(-2)•[1an-1+(-1)n-1]
又∵1a1+(-1)=3
∴数列[1an+(-1)n]是首项为3，公比为-2的等比数列，
从而1an+(-1)n=3(-2)n-1
即an=13(-2)n-1-(-1)n；
（2）∵sin(2n-1)π2=(-1)n-1
∴bn=(-1)n-13•(-2)n-1-(-1)n=13•2n-1+1
则Tn=13+1+13×2+1++13×2n-1+1＜13+13×2+13×22+13•23++13•2n-1
=13(1+12+122+123++12n)
=13×1-12n1-12=23×(1-12n)＜23．

解析

1an

考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}满足a1=14，2an+.....”主要考查你对 [等比数列的通项公式 ]考点的理解。 等比数列的通项公式

等比数列的通项公式:

a_n=a₁q^n-1，q≠0，n∈N^*。

等比数列的通项公式的理解：

①在已知a₁和q的前提下，利用通项公式

可求出等比数列中的任意一项；
②在已知等比数列中任意两项的前提下，使用



可求等比数列中任何一项；
③用函数的观点看等比数列的通项，等比数列{a_n}的通项公式

，可以改写为

．当q>o，且q≠1时，y=q^x是一个指数函数，而

是一个不为0的常数与指数函数的积，因此等比数列{a_n}的图象是函数

的图象上的一群孤立的点；
④通项公式

亦可用以下方法推导出来：



将以上（n一1）个等式相乘，便可得到


 
⑤用方程的观点看通项公式．在a_n，q，a₁，n中，知三求一。