已知等差数列{an}的公差大于0，且a3＞a5是方程x2-14x+45=0的两根，数列{bn}的前n项的和为Sn，且Sn=1-12bn．求数列

题文

已知等差数列{a_n}的公差大于0，且a₃＞a₅是方程x²-14x+45=0的两根，数列{b_n}的前n项的和为S_n，且Sn=1-12bn （n∈N^*）．
（1）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（2）记c_n=a_nb_n，求证：c_n+1≤c_n． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）由x²-14x+45=0得：x₁=5，x₂=9．
∵a₃，a₅是方程x²-14x+45=0的两根，且等差数列{a_n}的公差大于0，
∴a₃=5，a₅=9，则公差d=a5-a35-3=9-52=2．
∴a_n=a₃+（n-3）d=5+2（n-3）=2n-1，
由Sn=1-12bn，当n=1时，有b1=S1=1-12b1，∴b1=23．
当n≥2时，有bn=Sn-Sn-1=12(bn-1-bn)，
∴3b_n=b_n-1，∵b1=23≠0，∴bnbn-1=13（n≥2）．
∴数列{b_n}是以23为首项，以13为公比的等比数列．
∴bn=b1qn-1=23×(13)n-1=23n．
（2）证明：由a_n=2n-1，bn=23n，∴cn=anbn=2(2n-1)3n，cn+1=2(2n+1)3n+1．
则cn+1-cn=2(2n+1)3n+1-2(2n-1)3n=8(1-n)3n+1≤0．
∴c_n+1≤c_n．

解析

a5-a35-3

考点

据考高分专家说，试题“已知等差数列{an}的公差大于0，且a3.....”主要考查你对 [等比数列的通项公式 ]考点的理解。 等比数列的通项公式

等比数列的通项公式:

a_n=a₁q^n-1，q≠0，n∈N^*。

等比数列的通项公式的理解：

①在已知a₁和q的前提下，利用通项公式

可求出等比数列中的任意一项；
②在已知等比数列中任意两项的前提下，使用



可求等比数列中任何一项；
③用函数的观点看等比数列的通项，等比数列{a_n}的通项公式

，可以改写为

．当q>o，且q≠1时，y=q^x是一个指数函数，而

是一个不为0的常数与指数函数的积，因此等比数列{a_n}的图象是函数

的图象上的一群孤立的点；
④通项公式

亦可用以下方法推导出来：



将以上（n一1）个等式相乘，便可得到


 
⑤用方程的观点看通项公式．在a_n，q，a₁，n中，知三求一。