已知等比数列{an}的公比为q，首项为a1，其前n项的和为Sn．数列{an2}的前n项的和为An，数列{n+1an}的前n项的和为Bn．若A2=5

题文

已知等比数列{a_n}的公比为q，首项为a₁，其前n项的和为S_n．数列{a_n²}的前n项的和为A_n，数列{（-1）ⁿ⁺¹a_n}的前n项的和为B_n．
（1）若A₂=5，B₂=-1，求{a_n}的通项公式；
（2）①当n为奇数时，比较B_nS_n与A_n的大小；
②当n为偶数时，若|q|≠1，问是否存在常数λ（与n无关），使得等式（B_n-λ）S_n+A_n=0恒成立，若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）∵A₂=5，B₂=-1，
∴a21+a21q2=5a1-a1q=-1
∴a1=-2q=12或a1=1q=2（2分）
∴an=-(12)n-2，或a_n=2^n-1．（4分）
（2）∵an+12an2=(an+1an)2=q2=常数，
(-1)n+2an+1(-1)n+1an=(-1)×an+1an=-q=常数，
∴数列{a_n²}，{（-1）ⁿ⁺¹a_n}均为等比数列，
首项分别为a₁²，a₁，公比分别为q²，-q．（6分）
①当n为奇数时，当q=1时，S_n=na₁，A_n=na₁²，B_n=a₁，
∴B_nS_n=na₁²=A_n．当q=-1时，S_n=a₁，A_n=na₁²，B_n=na₁，
∴B_nS_n=na₁²=A_n．（8分）
当q≠±1时，设n=2k-1（k∈N^*），S2k-1=a1(1-q2k-1)1-q，A2k-1=a21[1-(q2)2k-1]1-q2=a21(1-q2k-1)(1+q2k-1)1-q2，B2k-1=a1[1-(-q)2k-1]1+q=a1(1+q2k-1)1+q，
∴B_2k-1S_2k-1=A_2k-1．综上所述，当n为奇数时，B_nS_n=A_n．（10分）
②当n为偶数时，存在常数λ=2a11+q，
使得等式（B_n-λ）S_n+A_n=0恒成立．（11分）
∵|q|≠1，∴Sn=a1(1-qn)1-q，An=a12(1-q2n)1-q2，Bn=a1(1-qn)1+q．
∴（B_n-λ）S_n+A_n=[a1(1-qn)1+q-λ]a1(1-qn)1-q+a12(1-q2n)1-q2
=a12(1-qn)21-q2-λa1(1-qn)1-q+a12(1-q2n)1-q2
=2a12(1-qn)1-q2-λa1(1-qn)1-q
=a1(1-qn)1-q(2a11+q-λ)．（14分）
由题设，a1(1-qn)1-q(2a11+q-λ)=0对所有的偶数n恒成立，
又a1(1-qn)1-q≠0，∴λ=2a11+q．（16分）
∴存在常数λ=2a11+q，使得等式（B_n-λ）S_n+A_n=0恒成立．

解析

a21+a21q2=5a1-a1q=-1

考点

据考高分专家说，试题“已知等比数列{an}的公比为q，首项为a.....”主要考查你对 [等比数列的通项公式 ]考点的理解。 等比数列的通项公式

等比数列的通项公式:

a_n=a₁q^n-1，q≠0，n∈N^*。

等比数列的通项公式的理解：

①在已知a₁和q的前提下，利用通项公式

可求出等比数列中的任意一项；
②在已知等比数列中任意两项的前提下，使用



可求等比数列中任何一项；
③用函数的观点看等比数列的通项，等比数列{a_n}的通项公式

，可以改写为

．当q>o，且q≠1时，y=q^x是一个指数函数，而

是一个不为0的常数与指数函数的积，因此等比数列{a_n}的图象是函数

的图象上的一群孤立的点；
④通项公式

亦可用以下方法推导出来：



将以上（n一1）个等式相乘，便可得到


 
⑤用方程的观点看通项公式．在a_n，q，a₁，n中，知三求一。