已知数列{an}的各项均为正数，Sn为其前n项和，对于任意n∈N*，满足关系Sn=2an-2．求数列{an}的通项公式；设数列{bn}的前n项和为T

题文

已知数列{a_n}的各项均为正数，S_n为其前n项和，对于任意n∈N^*，满足关系S_n=2a_n-2．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设数列{b_n}的前n项和为T_n，且bn=1(log2an)2，求证：对任意正整数n，总有T_n＜2；
（Ⅲ）在正数数列{c_n}中，设(cn)n+1=n+12n+1an+1(n∈N*)，求数列{lnc_n}中的最大项 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）∵S_n=2a_n-2（n∈N^*），①∴S_n-1=2a_n-1-2（n≥2，n∈N^*）②（1分）
①-②，得a_n=2a_n-2a_n-1．（n≥2，n∈N^*）∵a_n≠0，∴anan-1=2.（n≥2，n∈N^*）
即数列{a_n}是等比数列．（3分）∵a₁=S₁，∴a₁=2a₁-2，即a₁=2．∴a_n=2ⁿ．（n∈N^*）（5分）
（Ⅱ）证明：∵对任意正整数n，总有bn=1(log2an)2=1n2.（6分）
∴Tn=112+122+…+1n2≤1+11•2+12•3+…+1(n-1)n=1+1-12+12-13+…+1n-1-1n＜2（9分）
（Ⅲ）由（c_n）ⁿ⁺¹=n+12n+1a_n+1（n∈N^*）知lnc_n=ln(n-1)n+1
令f(x)=lnxx，则f′(x)=1x•x-1nxx2=1-lnxx2.
∵在区间（0，e）上，f'（x）＞0，在区间（e，+∞）上，f'（x）＜0．
在区间（e，+∞）上f（x）为单调递减函数．（12分）
∴n≥2且n∈N^*时，|lnc_n|是递减数列．
又lnc1＜lnc2，∴数列|lncn|中的最大项为lnc2=13ln3.（14分）

解析

anan-1

考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}的各项均为正数，Sn为其.....”主要考查你对 [等比数列的通项公式 ]考点的理解。 等比数列的通项公式

等比数列的通项公式:

a_n=a₁q^n-1，q≠0，n∈N^*。

等比数列的通项公式的理解：

①在已知a₁和q的前提下，利用通项公式

可求出等比数列中的任意一项；
②在已知等比数列中任意两项的前提下，使用



可求等比数列中任何一项；
③用函数的观点看等比数列的通项，等比数列{a_n}的通项公式

，可以改写为

．当q>o，且q≠1时，y=q^x是一个指数函数，而

是一个不为0的常数与指数函数的积，因此等比数列{a_n}的图象是函数

的图象上的一群孤立的点；
④通项公式

亦可用以下方法推导出来：



将以上（n一1）个等式相乘，便可得到


 
⑤用方程的观点看通项公式．在a_n，q，a₁，n中，知三求一。