已知等比数列{an}的通项公式为an=3n-1，设数列{bn}满足对任意自然数n都有b1a1+b2a2+b3a3+┅+bnan=2n+1恒成立．求数列{b

题文

已知等比数列{a_n}的通项公式为a_n=3^n-1，设数列{b_n}满足对任意自然数n都有b1a1+b2a2+b3a3+┅+bnan=2n+1恒成立．
（1）求数列{b_n}的通项公式；  
（2）求b₁+b₂+b₃+┅+b₂₀₁₁的值． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）∵对任意正整数n，有b1a1+b2a2+b3a3+┅+bnan=2n+1，①
∴当n≥2时，b1a1+b2a2+b3a3+┅+bn-1an-1=2n-1，②…（4分）
①-②得  bnan=2；  故 b_n=2a_n =2×3^n-1（n≥2）． …（7分）
当n=1时，b1a1=3，
又a₁=1，∴b₁=3．
∴bn=3，(n=1)2×3n-1，(n≥2)． …（10分）
（2）b₁+b₂+b₃+┅+b₂₀₁₁=3+（2×3+2×3²+…+2×3²⁰¹⁰）=3+3（3²⁰¹⁰-1）=3²⁰¹¹．…（15分）

解析

b1a1

考点

据考高分专家说，试题“已知等比数列{an}的通项公式为an=3.....”主要考查你对 [等比数列的通项公式 ]考点的理解。 等比数列的通项公式

等比数列的通项公式:

a_n=a₁q^n-1，q≠0，n∈N^*。

等比数列的通项公式的理解：

①在已知a₁和q的前提下，利用通项公式

可求出等比数列中的任意一项；
②在已知等比数列中任意两项的前提下，使用



可求等比数列中任何一项；
③用函数的观点看等比数列的通项，等比数列{a_n}的通项公式

，可以改写为

．当q>o，且q≠1时，y=q^x是一个指数函数，而

是一个不为0的常数与指数函数的积，因此等比数列{a_n}的图象是函数

的图象上的一群孤立的点；
④通项公式

亦可用以下方法推导出来：



将以上（n一1）个等式相乘，便可得到


 
⑤用方程的观点看通项公式．在a_n，q，a₁，n中，知三求一。