已知数列{an}为等差数列，其前n项和为Sn，且Sn=2n2-n，数列{bn}是各项都为正数的等比数列，且b1=1，b1+b2+b3=13．求a3及数列{

题文

已知数列{a_n}为等差数列，其前n项和为S_n，且S_n=2n²-n，数列{b_n}是各项都为正数的等比数列，且b₁=1，b₁+b₂+b₃=13．
（1）求a₃及数列{b_n}的通项公式；
（2）设数列{b_n}的前n项和为T_n，试求满足T_n≤a₃₁的n的集合． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）因为S_n=2n²-n，所以a₃=S₃-S₂=2×3²-3-（2×2²-2）=9…（2分）
依题意设等比数列{b_n}的公比为q （q＞0），由b₁=1，b₁+b₂+b₃=13得：1+q+q²=13，
即q²+q-12=0，解得q=3或q=-4，…（4分）
因为q＞0，所以q=3，所以b_n=3^n-1…（6分）
（2）a₃₁=S₃₁-S₃₀=2×31²-31-（2×30²-30）=121…（8分）
Tn=1-3n1-3=3n-12，…（10分）
由T_n≤a₃₁得：3n-12≤121，
所以3ⁿ≤243=3⁵，所以n≤5，…（12分）
又因为n∈N*，所以n=1，2，3，4，5；…（13分）
所以满足T_n≤a₃₁的n的集合为{1，2，3，4，5}．…（14分）

解析

1-3n1-3

考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}为等差数列，其前n项和为.....”主要考查你对 [等比数列的通项公式 ]考点的理解。 等比数列的通项公式

等比数列的通项公式:

a_n=a₁q^n-1，q≠0，n∈N^*。

等比数列的通项公式的理解：

①在已知a₁和q的前提下，利用通项公式

可求出等比数列中的任意一项；
②在已知等比数列中任意两项的前提下，使用



可求等比数列中任何一项；
③用函数的观点看等比数列的通项，等比数列{a_n}的通项公式

，可以改写为

．当q>o，且q≠1时，y=q^x是一个指数函数，而

是一个不为0的常数与指数函数的积，因此等比数列{a_n}的图象是函数

的图象上的一群孤立的点；
④通项公式

亦可用以下方法推导出来：



将以上（n一1）个等式相乘，便可得到


 
⑤用方程的观点看通项公式．在a_n，q，a₁，n中，知三求一。