已知数列bn前n项和Sn=32n2-12n．数列an满足3an=4-(bn+2)，数列cn满足cn=anbn．求数列an和数列bn的通项公式；

题文

已知数列b_n前n项和Sn=32n2-12n．数列a_n满足3an=4-(bn+2)（n∈N^*），数列c_n满足c_n=a_nb_n．
（1）求数列a_n和数列b_n的通项公式；
（2）求数列c_n的前n项和T_n；
（3）若cn≤14m2+m-1对一切正整数n恒成立，求实数m的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）由已知和得，当n≥2时，bn=Sn-Sn-1=(32n2-12n)-(32(n-1)2-12(n-1))=3n-2（2分）
又b₁=1=3×1-2，符合上式．故数列b_n的通项公式b_n=3n-2．（3分）
又∵3an=4-(bn+2)，∴an=4-(bn+2)3=4-(3n-2)+23=(14)n，
故数列a_n的通项公式为an=(14)n，（5分）
（2）cn=anbn=(3n-2)•(14)n，Sn=1×14+4×(14)2+7×(14)3++(3n-2)×(14)n，①14Sn=1×(14)2+4×(14)3+7×(14)4++(3n-5)×(14)n+(3n-2)×(14)n+1，②
①-②得 34Sn=14+3×[(14)2+(14)3+(14)4++(14)n]-(3n-2)×(14)n+1=14+3×(14)2[1-(14)n-1]1-14-(3n-2)×(14)n+1=12-(3n+2)×(14)n+1，
∴Sn=23-12n+83×(14)n+1． （10分）
（3）∵cn=(3n-2)•(14)n，
∴cn+1-cn=(3n+1)•(14)n+1-(3n-2)•(14)n=(14)n•[3n+14-(3n-2)]=-9•(14)n+1(n-1)，
当n=1时，c_n+1=c_n；当n≥2时，c_n+1≤c_n，∴(cn)max=c1=c2=14．
若cn≤14m2+m-1对一切正整数n恒成立，则14m2+m-1≥14即可，
∴m²+4m-5≥0，即m≤-5或m≥1． （14分）．

解析

32

考点

据考高分专家说，试题“已知数列bn前n项和Sn=32n2-12.....”主要考查你对 [等比数列的通项公式 ]考点的理解。 等比数列的通项公式

等比数列的通项公式:

a_n=a₁q^n-1，q≠0，n∈N^*。

等比数列的通项公式的理解：

①在已知a₁和q的前提下，利用通项公式

可求出等比数列中的任意一项；
②在已知等比数列中任意两项的前提下，使用



可求等比数列中任何一项；
③用函数的观点看等比数列的通项，等比数列{a_n}的通项公式

，可以改写为

．当q>o，且q≠1时，y=q^x是一个指数函数，而

是一个不为0的常数与指数函数的积，因此等比数列{a_n}的图象是函数

的图象上的一群孤立的点；
④通项公式

亦可用以下方法推导出来：



将以上（n一1）个等式相乘，便可得到


 
⑤用方程的观点看通项公式．在a_n，q，a₁，n中，知三求一。