设等比数列{an}的前n项和为Sn，首项a1=1，公比q=f(λ)=λ1+λ(λ≠-1，0)．证明：sn=-λan；若数列{bn}满足b1

题文

设等比数列{a_n}的前n项和为S_n，首项a₁=1，公比q=f(λ)=λ1+λ(λ≠-1，0)．
（1）证明：s_n=（1+λ）-λa_n；
（2）若数列{b_n}满足b1=12，b_n=f（b_n-1）（n∈N^*，n≥2），求数列{b_n}的通项公式；
（3）若λ=1，记cn=an(1bn-1)，数列{c_n}的前n项和为T_n，求证；当n≥2时，2≤T_n＜4． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（ 1）证明：由等比数列的前n项和公式可得：Sn=a1-anq1-q═1-an•λ1+λ1-λ1+λ=1+λ-λa_n
  （2）∵b_n=f（b_n-1）=bn-11+bn-1，（n∈N^*，n≥2），
∴1bn=1bn-1+1，即1bn-1bn-1=1，
∴数列{1bn}是以1b1=2为首项，1为公差的等差数列，
∴1bn=2+(n-1)×1=n+1，
∴bn=1n+1．
  （3）证明：由（1）（2）可知：λ=1时，cn=n•(12)n-1．
∴T_n=1+2×12+3×(12)2+…+n×(12)n-1，
12Tn=12+2×(12)2+…+(n-1)•(12)n-1+n•(12)n，
∴12Tn=1+12+(12)2+…+(12)n-1-n•(12)n=1-(12)n1-12-n•(12)n，
T_n=4-2+n2n-1，
∵f(n)=2+n2n-1＞0，∴f(n+1)f(n)=3+n4+2n＜1，∴f（n）单调递减．
∴n≥2时，f（n）≤f（2）=2，
∴Tn≥4-2=2．
∵f（n）＞0，∴T_n＜4．
∴当n≥2时，2≤T_n＜4．

解析

a1-anq1-q

考点

据考高分专家说，试题“设等比数列{an}的前n项和为Sn，首项.....”主要考查你对 [等比数列的通项公式 ]考点的理解。 等比数列的通项公式

等比数列的通项公式:

a_n=a₁q^n-1，q≠0，n∈N^*。

等比数列的通项公式的理解：

①在已知a₁和q的前提下，利用通项公式

可求出等比数列中的任意一项；
②在已知等比数列中任意两项的前提下，使用



可求等比数列中任何一项；
③用函数的观点看等比数列的通项，等比数列{a_n}的通项公式

，可以改写为

．当q>o，且q≠1时，y=q^x是一个指数函数，而

是一个不为0的常数与指数函数的积，因此等比数列{a_n}的图象是函数

的图象上的一群孤立的点；
④通项公式

亦可用以下方法推导出来：



将以上（n一1）个等式相乘，便可得到


 
⑤用方程的观点看通项公式．在a_n，q，a₁，n中，知三求一。