已知数列求数列{an}的通项公式；若bn=an，求数列{bn

题文

已知数列（a_n}为S_n且有a₁=2，3S_n=5a_n-a_n-1+3S_n-1 （n≥2）
（I）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若b_n=（2n-1）a_n，求数列{b_n}前n和T_n
（Ⅲ）若c_n=tⁿ[lg（2t）ⁿ+lga_n+2]（0＜t＜1），且数列{c_n}中的每一项总小于它后面的项，求实数t取值范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）3S_n-3S_n-1=5a_n-a_n-1，∴2a_n=a_n-1，anan-1=12
∵a₁=2，∴an=2(12)n-1=22-n（n∈N^*）
（Ⅱ）b_n=（2n-1）2^2-n，
Tn=1× 2+3×20+5×2-1+…+(2n-1)×22-n12Tn=     1×20+3×2-1+…+(2n-3)×22-n+(2n-1)×21-n  
12Tn=2+2×(20+2-1+…+22-n) -(2n-1)×21-n=2+2[1-(2-1)n-1] 1-2-1-(2n-1)×21-n
∴T_n=12-（2n+3）×2^2-n（n∈N^*）
（Ⅲ）c_n=tⁿ（nlg2+nlgt+lg2^-n）=ntⁿlgt，∵c_n＜c_n+1，∴ntⁿlgt＜（n+1）tⁿ⁺¹lgt
∵0＜t＜1，∴nlgt＜t（n+1）lgt
∵lgt＜0，∴n＞t（n+1）⇔t＜nn+1，
∵n∈N^*，nn+1=11+1n≥12，∴0＜t＜12

解析

anan-1

考点

据考高分专家说，试题“已知数列（an}为Sn且有a1=2，3S.....”主要考查你对 [等比数列的通项公式 ]考点的理解。 等比数列的通项公式

等比数列的通项公式:

a_n=a₁q^n-1，q≠0，n∈N^*。

等比数列的通项公式的理解：

①在已知a₁和q的前提下，利用通项公式

可求出等比数列中的任意一项；
②在已知等比数列中任意两项的前提下，使用



可求等比数列中任何一项；
③用函数的观点看等比数列的通项，等比数列{a_n}的通项公式

，可以改写为

．当q>o，且q≠1时，y=q^x是一个指数函数，而

是一个不为0的常数与指数函数的积，因此等比数列{a_n}的图象是函数

的图象上的一群孤立的点；
④通项公式

亦可用以下方法推导出来：



将以上（n一1）个等式相乘，便可得到


 
⑤用方程的观点看通项公式．在a_n，q，a₁，n中，知三求一。