设数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn=2-an，n=1，2，3，…．求数列{an}的通项公式；若数列{bn}满足b1=1，且bn+1=bn+a

题文

设数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足S_n=2-a_n，n=1，2，3，…．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若数列{b_n}满足b₁=1，且b_n+1=b_n+a_n，求数列{b_n}的通项公式；
（3）设c_n=n （3-b_n），求数列{c_n}的前n项和为T_n． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）因为n=1时，a₁+S₁=a₁+a₁=2，所以a₁=1．
因为S_n=2-a_n，即a_n+S_n=2，所以a_n+1+S_n+1=2．
两式相减：a_n+1-a_n+S_n+1-S_n=0，即a_n+1-a_n+a_n+1=0，故有2a_n+1=a_n．
因为a_n≠0，所以an+1an=12（ n∈N^*）．
所以数列{a_n}是首项a₁=1，公比为12的等比数列，a_n=(12)n-1（ n∈N^*）．
（2）因为b_n+1=b_n+a_n（ n=1，2，3，…），所以b_n+1-b_n=(12)n-1．从而有b₂-b₁=1，b₃-b₂=12，b₄-b₃=(12)2，…，b_n-b_n-1=(12)n-2（ n=2，3，…）．
将这n-1个等式相加，得b_n-b₁=1+12+(12)2+…+(12)n-2=1-(12)n-11-12=2-2(12)n-1．
又因为b₁=1，所以b_n=3-2(12)n-1（ n=1，2，3，…）．
（3）因为c_n=n （3-b_n）=2n(12)n-1，
所以T_n=2[(12)0+2(12)+3(12)2+…+(n-1)(12)n-2+n(12)n-1]．   ①
12Tn=2[(12)1+2(12)2+3(12)3+…+(n-1)(12)n-1+n(12)n]．       ②
①-②，得12Tn=2[(12)0+(12)+(12)2+…+(12)n-1]-2n(12)n．
故T_n=41-(12)n1-12-4n(12)n=8-82n-4n(12)n=8-(8+4n)12n（ n=1，2，3，…）．

解析

an+1an

考点

据考高分专家说，试题“设数列{an}的前n项和为Sn，且满足S.....”主要考查你对 [等比数列的通项公式 ]考点的理解。 等比数列的通项公式

等比数列的通项公式:

a_n=a₁q^n-1，q≠0，n∈N^*。

等比数列的通项公式的理解：

①在已知a₁和q的前提下，利用通项公式

可求出等比数列中的任意一项；
②在已知等比数列中任意两项的前提下，使用



可求等比数列中任何一项；
③用函数的观点看等比数列的通项，等比数列{a_n}的通项公式

，可以改写为

．当q>o，且q≠1时，y=q^x是一个指数函数，而

是一个不为0的常数与指数函数的积，因此等比数列{a_n}的图象是函数

的图象上的一群孤立的点；
④通项公式

亦可用以下方法推导出来：



将以上（n一1）个等式相乘，便可得到


 
⑤用方程的观点看通项公式．在a_n，q，a₁，n中，知三求一。