设数列{an}的前n项和为Sn，满足Sn=2-an．求数列{an}的通项公式；设数列{bn}满足bn=λan-an2，若n≥5时，bn+1＜bn恒成

题文

设数列{a_n}的前n项和为S_n，满足S_n=2-a_n．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设数列{b_n}满足b_n=λa_n-a_n²，若n≥5时，b_n+1＜b_n恒成立，求实数λ的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）∵n=1时，a₁+S₁=a₁+a₁=2，∴a₁=1，
∵S_n=2-a_n，即a_n+S_n=2，∴a_n+1+S_n+1=2，两式相减：a_n+1-a_n+a_n+1=0，
故有2a_n+1=a_n，∵a_n≠0，∴an+1an=12，n∈N+
所以，数列{a_n}为首项a1=1，公比为12的等比数列，
∴an=(12)n-1
（2）b_n=λa_n-a_n²=λ•(12)n-1-(14)n-1
b_n+1-b_n=-λ•(12)n+3•(14)n
∵b_n+1＜b_n，∴λ＞3•(12)n
∵n≥5时，b_n+1＜b_n恒成立，
∴λ＞3•(12)5，∴λ＞332
∴实数λ的取值范围是(332，+∞)

解析

an+1an

考点

据考高分专家说，试题“设数列{an}的前n项和为Sn，满足Sn.....”主要考查你对 [等比数列的通项公式 ]考点的理解。 等比数列的通项公式

等比数列的通项公式:

a_n=a₁q^n-1，q≠0，n∈N^*。

等比数列的通项公式的理解：

①在已知a₁和q的前提下，利用通项公式

可求出等比数列中的任意一项；
②在已知等比数列中任意两项的前提下，使用



可求等比数列中任何一项；
③用函数的观点看等比数列的通项，等比数列{a_n}的通项公式

，可以改写为

．当q>o，且q≠1时，y=q^x是一个指数函数，而

是一个不为0的常数与指数函数的积，因此等比数列{a_n}的图象是函数

的图象上的一群孤立的点；
④通项公式

亦可用以下方法推导出来：



将以上（n一1）个等式相乘，便可得到


 
⑤用方程的观点看通项公式．在a_n，q，a₁，n中，知三求一。