已知数列an}的前n项和为sn，满足sn=p2-an，其中p为正常数，且p≠1．求证：数列{an}为等比数列，并求出{an}的通项公式；若

题文

已知数列a_n}的前n项和为s_n，满足（p-1）s_n=p²-a_n，其中p为正常数，且p≠1．
（1）求证：数列{a_n}为等比数列，并求出{a_n}的通项公式；
（2）若存在正整数M，使得当n≥M时，a₁a₄a₇…a_3n-2＞a₃₆恒成立，求出M的最小值；
（3）当p=2时，数列a_n，2^xa_n+1，2^ya_n+2成等差数列，其中x，y均为整数，求出x，y的值． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）因为（p-1）s_n=p²-a_n，所以当n≥2时，（p-1）s_n-1=p²-a_n-1，
两式相减得（p-1）a_n=a_n-a_n-1，即pa_n=a_n-1，所以anan-1=1p，
所以数列{a_n}为等比数列，公比为1p，
又当n=1时，（p-1）s₁=p²-a₁，即（p-1）a₁=p²-a₁，所以pa1=p2
因为p＞0，所以a₁=p，所以{a_n}的通项公式为：an=p(1p)n-1=(1p)n-2
（2）由（1）知：a₁a₄a₇…a_3n-2=(1p)-1(1p)2(1p)5…(1p)3n-4=(1p)-1+2+5+…+3n-4=(1p)n(3n-5)2
而a36=(1p)34，所以不等式a₁a₄a₇…a_3n-2＞a₃₆，即为(1p)n(3n-5)2＞(1p)34
p为正常数，且p≠1，所以当0＜p＜1时，1p＞1，所以n(3n-5)2＞34，解得n＜-4或n＞173，
故存在最小值为6的M，使得a₁a₄a₇…a_3n-2＞a₃₆恒成立；
当p＞1时，0＜1p＜1，所以n(3n-5)2＜34，解得-4＜n＜173，不合题意，
综合可得：当当0＜p＜1时，所求M的最小值为6．
（3）当p=2时，an=(12)n-2，因为数列a_n，2^xa_n+1，2^ya_n+2成等差数列，
所以2×2x(12)n-1=(12)n-2 +2y(12)n，
化简得2^x=1+2^y-2，显然x＞y-2，因为x，y均为整数，
所以当y=2时，2^x=2，则x=1，
当y＞2时，2^y-2为偶数，则1+2^y-2为奇数，即2^x为奇数，这与2^x为偶数矛盾，
当y＜2时，2-y＞0，x+2-y＞0，由2^x=1+2^y-2得，2^x+2-y=1+2^2-y，则2^2-y为偶数，
1+2^2-y为奇数，即2^x+2-y为奇数，这与2^x+2-y为偶数矛盾，
综合得：x=1，y=2．

解析

anan-1

考点

据考高分专家说，试题“已知数列an}的前n项和为sn，满足（p.....”主要考查你对 [等比数列的通项公式 ]考点的理解。 等比数列的通项公式

等比数列的通项公式:

a_n=a₁q^n-1，q≠0，n∈N^*。

等比数列的通项公式的理解：

①在已知a₁和q的前提下，利用通项公式

可求出等比数列中的任意一项；
②在已知等比数列中任意两项的前提下，使用



可求等比数列中任何一项；
③用函数的观点看等比数列的通项，等比数列{a_n}的通项公式

，可以改写为

．当q>o，且q≠1时，y=q^x是一个指数函数，而

是一个不为0的常数与指数函数的积，因此等比数列{a_n}的图象是函数

的图象上的一群孤立的点；
④通项公式

亦可用以下方法推导出来：



将以上（n一1）个等式相乘，便可得到


 
⑤用方程的观点看通项公式．在a_n，q，a₁，n中，知三求一。