设数列{an}的前n项和为Sn，满足Sn=an+1-2n+1+1，(n∈N*)，且a1=1．求a2，a3的值；求数列{an}的通项公式；设数列

题文

设数列{a_n}的前n项和为S_n，满足Sn=an+1-2n+1+1，(n∈N*)，且a₁=1．
（Ⅰ）求a₂，a₃的值；
（Ⅱ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅲ）设数列{b_n}的前n项和为T_n，且bn=an+1-1an+1+2，证明：对一切正整数n，都有：n-32＜Tn＜n-14． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）∵Sn=an+1-2n+1+1（n∈N^*），且a₁=1，
∴S1=a2-22+1，a1=a2-22+1，∴a₂=4，
S2=a3-23+1，a1+a2=a3-23+1，∴a₃=12；
（Ⅱ）由Sn=an+1-2n+1+1，(n∈N*)①，
得Sn-1=an-2n+1，（n∈N^*，n≥2）②，
①-②得：an=an+1-an-2n，即an+1=2an+2n(n≥2)，
检验知a₁=1，a₂=4满足an+1=2an+2n(n≥2)．
∴an+1=2an+2n(n≥1)．
变形可得an+12n=an2n-1+1(n≥1)．
∵a121-1=120=1，
∴数列{an2n-1}是以1为首项，1为公差的等差数列．
∴an2n-1=1+(n-1)×1=n，
则an=n•2n-1(n≥1)；
（Ⅲ）证明：由（Ⅱ）知an=n•2n-1(n≥1)，代入bn=an+1-1an+1+2
得b_n=(n+1)•2n-1(n+1)•2n+2=1-3(n+1)•2n+2，
∵22n+1-(n+1)•2n-2=(2n+1-n-1-12n-1)2n＞0，
∴（n+1）•2ⁿ+2＜2²ⁿ⁺¹
又∵2ⁿ⁺¹＜（n+1）•2ⁿ+2，
∴2ⁿ⁺¹＜（n+1）•2ⁿ+2＜2²ⁿ⁺¹，
则322n+1＜3(n+1)•2n+2＜32n+1
∴1-32n+1＜1-3(n+1)•2n+2＜1-322n+1
∴1-32n+1＜bn＜1-322n+1
∴n-(322+323+…+32n+1)＜Tn＜n-(323+325+…+322n+1)
即n-3×14[1-(12)n]1-12＜Tn＜n-3×18[1-(14)n]1-14
∴n-32[1-(12)n]＜Tn＜n-12[1-(14)n]
∴n-32＜Tn＜n-12＜n-14．

解析

an+12n

考点

据考高分专家说，试题“设数列{an}的前n项和为Sn，满足Sn.....”主要考查你对 [等比数列的通项公式 ]考点的理解。 等比数列的通项公式

等比数列的通项公式:

a_n=a₁q^n-1，q≠0，n∈N^*。

等比数列的通项公式的理解：

①在已知a₁和q的前提下，利用通项公式

可求出等比数列中的任意一项；
②在已知等比数列中任意两项的前提下，使用



可求等比数列中任何一项；
③用函数的观点看等比数列的通项，等比数列{a_n}的通项公式

，可以改写为

．当q>o，且q≠1时，y=q^x是一个指数函数，而

是一个不为0的常数与指数函数的积，因此等比数列{a_n}的图象是函数

的图象上的一群孤立的点；
④通项公式

亦可用以下方法推导出来：



将以上（n一1）个等式相乘，便可得到


 
⑤用方程的观点看通项公式．在a_n，q，a₁，n中，知三求一。