已知数列an的前n项和为Sn，且Sn=1-an求数列an的通项公式；已知数列bn的通项公式bn=2n-1，记cn=anbn，求数列cn

题文

已知数列an的前n项和为S_n，且S_n=1-a_n （n∈N^*）
（I ）求数列an的通项公式；
（Ⅱ）已知数列bn的通项公式b_n=2n-1，记c_n=a_nb_n，求数列cn的前n项和T_n． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）当n=1时，a₁=1-a₁，∴a1=12．
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=1-a_n-1+a_n-1，
即2a_n=a_n-1，∴anan-1=12．
∴数列{a_n}是以12为首项，12为公比的等比数列．
∴an=12×(12)n-1=12n．
（Ⅱ）c∵cn=(2n-1)12n，
∴Tn=1×12+3×122+…+(2n-1)×12n   ①
12Tn=1×122+3×123+…+(2n-1)×12n+1②
①-②得：12Tn=12+222+…+22n-(2n-1)×12n+1，
12Tn=12+2×14(1-12n-1)1-12-(2n-1)×12n+1，
∴Tn=3-2n+32n (n∈N*)．

解析

12

考点

据考高分专家说，试题“已知数列an的前n项和为Sn，且Sn=1.....”主要考查你对 [等比数列的通项公式 ]考点的理解。 等比数列的通项公式

等比数列的通项公式:

a_n=a₁q^n-1，q≠0，n∈N^*。

等比数列的通项公式的理解：

①在已知a₁和q的前提下，利用通项公式

可求出等比数列中的任意一项；
②在已知等比数列中任意两项的前提下，使用



可求等比数列中任何一项；
③用函数的观点看等比数列的通项，等比数列{a_n}的通项公式

，可以改写为

．当q>o，且q≠1时，y=q^x是一个指数函数，而

是一个不为0的常数与指数函数的积，因此等比数列{a_n}的图象是函数

的图象上的一群孤立的点；
④通项公式

亦可用以下方法推导出来：



将以上（n一1）个等式相乘，便可得到


 
⑤用方程的观点看通项公式．在a_n，q，a₁，n中，知三求一。